Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13570
2020-02-29 
Волан для бадминтона имеет массу $m = 5 г$ и площадь поперечного сечения $S = 30 см^{2}$. При движении в воздухе со скоростью $v$ волан испытывает силу сопротивления, направленную против скорости и равную $F = kv^{2} \rho S$, где $\rho = 1 кг/м^{3}$ - плотность воздуха. После удара ракеткой волан приобрел вертикальную скорость $v_{0} = 20 м/с$ и взлетел над местом удара на высоту $H = 10 м$. Чему равен коэффициент $k$? Каким было ускорение волана сразу после удара? На какую высоту взлетел бы волан, если бы его начальная вертикальная скорость равнялась 10 м/с? Подсказка. Для нахождения численных ответов воспользуйтесь калькулятором.
Решение:
Выберем вертикальную ось координат с началом в месте старта волана и направим ее вверх. В соответствии с условием задачи при движении вверх изменение скорости волана подчиняется уравнению движения (второму закону Ньютона)
$\frac{dv}{dt} = - g - v^{2} \frac{kS \rho}{m} \Rightarrow vdt \frac{dv}{dt} = vdt \left ( - g - v^{2} \frac{k \rho S}{m} \right ) \Rightarrow \frac{dv^{2} }{v^{2} + \frac{gm}{kS \rho} } = - 2 \frac{kS \rho}{m} vdt = - 2 \frac{kS \rho }{m} dx \Rightarrow ln \left ( \frac{v^{2} + \frac{gm}{kS \rho } }{ v_{0}^{2} + \frac{gm}{kS \rho } } \right ) = - 2 \frac{kS \rho}{m} x \Rightarrow \frac{ \frac{gm}{kS \rho } }{v_{0}^{2} + \frac{gm}{kS \rho} } = e^{- 2 \frac{kS \rho}{m}H }$.
Приходим к трансцендентному уравнению для нахождения величины $k$:
$e^{ \frac{2k S \rho H}{m} } = 1 + \frac{v_{0}^{2}kS \rho}{gm}$.
При подстановке численных значений величин, приведенных в условии задачи, получается уравнение
$e^{12k} = 1 + 24k$.
Корень этого уравнения ищем с помощью калькулятора или компьютера:
$12k \approx 1,257$, и $k = 0,105$
Подставим это значение $k$ и другие величины, заданные в условии задачи, в уравнение движения волана (в самой первой записи) и найдем его ускорение в начальный момент времени:
$a = \frac{dv}{dt} \approx 3,4g \approx 34 м/с^{2}$.
Если изменить начальную скорость $v_{0}$, то в соответствии с полученным уравнением можно найти и новую высоту, на которой скорость волана обращается в ноль. В частности, при $v_{0} = 10 м/с$ высота подъема волана будет равна $h \approx 3,9 м$.
Волан для бадминтона имеет массу $m = 5 г$ и площадь поперечного сечения $S = 30 см^{2}$. При движении в воздухе со скоростью $v$ волан испытывает силу сопротивления, направленную против скорости и равную $F = kv^{2} \rho S$, где $\rho = 1 кг/м^{3}$ - плотность воздуха. После удара ракеткой волан приобрел вертикальную скорость $v_{0} = 20 м/с$ и взлетел над местом удара на высоту $H = 10 м$. Чему равен коэффициент $k$? Каким было ускорение волана сразу после удара? На какую высоту взлетел бы волан, если бы его начальная вертикальная скорость равнялась 10 м/с? Подсказка. Для нахождения численных ответов воспользуйтесь калькулятором.
Решение:
Выберем вертикальную ось координат с началом в месте старта волана и направим ее вверх. В соответствии с условием задачи при движении вверх изменение скорости волана подчиняется уравнению движения (второму закону Ньютона)
$\frac{dv}{dt} = - g - v^{2} \frac{kS \rho}{m} \Rightarrow vdt \frac{dv}{dt} = vdt \left ( - g - v^{2} \frac{k \rho S}{m} \right ) \Rightarrow \frac{dv^{2} }{v^{2} + \frac{gm}{kS \rho} } = - 2 \frac{kS \rho}{m} vdt = - 2 \frac{kS \rho }{m} dx \Rightarrow ln \left ( \frac{v^{2} + \frac{gm}{kS \rho } }{ v_{0}^{2} + \frac{gm}{kS \rho } } \right ) = - 2 \frac{kS \rho}{m} x \Rightarrow \frac{ \frac{gm}{kS \rho } }{v_{0}^{2} + \frac{gm}{kS \rho} } = e^{- 2 \frac{kS \rho}{m}H }$.
Приходим к трансцендентному уравнению для нахождения величины $k$:
$e^{ \frac{2k S \rho H}{m} } = 1 + \frac{v_{0}^{2}kS \rho}{gm}$.
При подстановке численных значений величин, приведенных в условии задачи, получается уравнение
$e^{12k} = 1 + 24k$.
Корень этого уравнения ищем с помощью калькулятора или компьютера:
$12k \approx 1,257$, и $k = 0,105$
Подставим это значение $k$ и другие величины, заданные в условии задачи, в уравнение движения волана (в самой первой записи) и найдем его ускорение в начальный момент времени:
$a = \frac{dv}{dt} \approx 3,4g \approx 34 м/с^{2}$.
Если изменить начальную скорость $v_{0}$, то в соответствии с полученным уравнением можно найти и новую высоту, на которой скорость волана обращается в ноль. В частности, при $v_{0} = 10 м/с$ высота подъема волана будет равна $h \approx 3,9 м$.
