Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1357
2016-11-18 
Тело бросают вертикально вверх. Промежуток времени между двумя моментами, когда тело проходит точку, находящуюся на высоте $H$, равен $t_{0}$. Найти начальную скорость и время движения.
Решение:
Поскольку все события разыгрываются вверху, ось у направляем вверх. Начало системы отсчета совпадает с положением тела в начальный момент времени. Движение одномерное, поэтому ограничимся одной осью координат. Характерные моменты времени, о котором упоминается в условии задачи: $t = 0$ — начало движения; $t_{1}$ — момент времени, когда тело первый раз оказалось на высоте $H$; $t_{2}$ — момент времени, когда тело второй раз оказалось на высоте $H; t_{3}$ — момент времени, когда тело коснулось земли. Напомним, что в момент времени $t = 0$ включается секундомер и затем по нему фиксируется время. Соответствующие данным моментам времени координаты тела обозначены на рисунке.
Основное уравнение теории:
$y = y_{0} + v_{0y}t + \frac{a_{y}t^{2}}{2}$
запишем для условий задачи. При этом учтем, что в силу выбора начала системы координат $y_{0} = 0, v_{0y} = v_{0}, a_{y} = - g$. Получаем:
$y= v_{0}t - \frac{gt^{2}}{2}$. (1)
Уравнение (1) записываем для копкретных моментов времени $t_{1}, t_{2}$ и $t_{3}$:
$y_{1} = v_{0}t_{1} - gt_{1}^{1}$, (2)
$y_{2} = v_{0}t_{2} - gt_{1}^{2}$, (3)
$y_{3} = v_{0}t_{3} - gt_{1}^{2}$. (4)
По условию задачи, с учетом обозначений на чертеже имеем:
$y_{1} = H$, (5)
$y_{2} = H$, (5)
$y_{3} = 0$. (5)
Кроме того, согласно условию,
$t_{2}-t_{1} = t_{0}$. (8)
«Физический» этап решения завершен. Подставив (5, 6, 7) в (2, 3, 4), получаем систему из 4 уравнений (2,3,4,8) с четырьмя неизвестными $t_{1}, t_{2}, t_{3}, v_{0}$.
Вычитая из (3) уравнение (2), после сокращения получим $t_{2} + t_{1} = \frac{2v_{0}}{g}$. С учетом (8) находим:
$t_{2} = \frac{1}{2} \left ( \frac{2v_{0}}{g} + t_{0} \right )$.
Подставляя $t_{2}$ в (3), получим квадратичное уравнение относительно $v_{0}$. Выбираем положительный корень:
$v_{0} = \frac{g}{2} \sqrt{ t_{0}^{2} + \frac{8H}{g}}$.
Наконец, из (4):
$t_{3} = \sqrt{ t_{0}^{2} + \frac{8H}{g}}$.
Тело бросают вертикально вверх. Промежуток времени между двумя моментами, когда тело проходит точку, находящуюся на высоте $H$, равен $t_{0}$. Найти начальную скорость и время движения.
Решение:
Поскольку все события разыгрываются вверху, ось у направляем вверх. Начало системы отсчета совпадает с положением тела в начальный момент времени. Движение одномерное, поэтому ограничимся одной осью координат. Характерные моменты времени, о котором упоминается в условии задачи: $t = 0$ — начало движения; $t_{1}$ — момент времени, когда тело первый раз оказалось на высоте $H$; $t_{2}$ — момент времени, когда тело второй раз оказалось на высоте $H; t_{3}$ — момент времени, когда тело коснулось земли. Напомним, что в момент времени $t = 0$ включается секундомер и затем по нему фиксируется время. Соответствующие данным моментам времени координаты тела обозначены на рисунке.
Основное уравнение теории:
$y = y_{0} + v_{0y}t + \frac{a_{y}t^{2}}{2}$
запишем для условий задачи. При этом учтем, что в силу выбора начала системы координат $y_{0} = 0, v_{0y} = v_{0}, a_{y} = - g$. Получаем:
$y= v_{0}t - \frac{gt^{2}}{2}$. (1)
Уравнение (1) записываем для копкретных моментов времени $t_{1}, t_{2}$ и $t_{3}$:
$y_{1} = v_{0}t_{1} - gt_{1}^{1}$, (2)
$y_{2} = v_{0}t_{2} - gt_{1}^{2}$, (3)
$y_{3} = v_{0}t_{3} - gt_{1}^{2}$. (4)
По условию задачи, с учетом обозначений на чертеже имеем:
$y_{1} = H$, (5)
$y_{2} = H$, (5)
$y_{3} = 0$. (5)
Кроме того, согласно условию,
$t_{2}-t_{1} = t_{0}$. (8)
«Физический» этап решения завершен. Подставив (5, 6, 7) в (2, 3, 4), получаем систему из 4 уравнений (2,3,4,8) с четырьмя неизвестными $t_{1}, t_{2}, t_{3}, v_{0}$.
Вычитая из (3) уравнение (2), после сокращения получим $t_{2} + t_{1} = \frac{2v_{0}}{g}$. С учетом (8) находим:
$t_{2} = \frac{1}{2} \left ( \frac{2v_{0}}{g} + t_{0} \right )$.
Подставляя $t_{2}$ в (3), получим квадратичное уравнение относительно $v_{0}$. Выбираем положительный корень:
$v_{0} = \frac{g}{2} \sqrt{ t_{0}^{2} + \frac{8H}{g}}$.
Наконец, из (4):
$t_{3} = \sqrt{ t_{0}^{2} + \frac{8H}{g}}$.
