Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13566
2020-02-29 
К потолку на шарнире подвешено плоское зеркало, представляющее собой тонкую прямоугольную пластину длиной $L$. Горизонтальная ось шарнира и одна сторона прямоугольника (зеркала) совпадают. На вертикальной стене, находящейся на расстоянии $d$ от оси шарнира, сидит оса. Расстояние от потолка до осы равно $h$. Зеркало отклоняют от положения равновесия в направлении от стены на угол $\alpha_{0}$, удерживают его, а затем отпускают. Каковы скорость $v$ и ускорение $a$ изображения осы в момент времени, когда плоскость зеркала составляет угол $\phi$ с вертикалью? Трения нет.
Решение:
Оса неподвижна, поэтому сначала нужно найти параметры движения зеркала: угловую скорость и угловое ускорение в момент времени, когда плоскость зеркала составляет с вертикалью угол $\phi$ (см. рисунок). Качающееся зеркало представляет собой физический маятник, у которого при отсутствии трения сохраняется механическая энергия. Эта энергия складывается из потенциальной энергии зеркала в поле тяжести Земли и кинетической энергии вращательного движения зеркала. Если массу зеркала обозначить $M$, то потенциальная энергия, отсчитываемая от положения, когда плоскость зеркала занимает горизонтальное положение, равна
$- Mg \frac{L}{2} \cos \phi$.
этот же момент времени кинетическая энергия равна
$\left ( \frac{ d \phi }{dt} \right )^{2} \frac{M}{2L} \int_{0}^{L} x^{2}dx = \left ( \frac{d \phi }{dt} \right )^{2} \frac{L^{2}M }{6}$.
соответствии с законом сохранения энергии,
$\left ( \frac{d \phi }{dt} \right )^{2} \frac{L^{2}M }{6} - \frac{MgL}{2} \cos \phi = - \frac{MgL}{2} \cos \alpha_{0}$.
Отсюда можно найти угловую скорость вращения зеркала:
$\omega = \frac{d \phi}{dt} = \sqrt{ \frac{3g}{L} ( \cos \phi - \cos \alpha_{0} )}$.
Если продифференцировать полученное соотношение по времени (левую и правую его части), то найдем угловое ускорение зеркала:
$\epsilon = \frac{d \omega }{dt} = \frac{d^{2} \phi }{dt^{2} } = - \frac{3g}{2L} \sin \phi$.
Изображение осы всегда находится на одном и том же расстоянии от оси вращения зеркала, т.е. оно движется по окружности радиусом $R = \sqrt{h^{2} + d^{2}}$. Угловая скорость движения отрезка, соединяющего ось вращения зеркала и изображение осы, в два раза больше угловой скорости вращения зеркала, поэтому скорость изображения равна
$v = R \cdot 2 \omega = 2 \sqrt{ \frac{3g(h^{2} + d^{2} )}{L} ( \cos \phi - \cos \alpha_{0} ) }$.
Угловое ускорение этого же отрезка, очевидно, тоже в два раза больше углового ускорения зеркала. Ускорение изображения осы складывается из двух составляющих: продольного (вдоль скорости движения) ускорения, равного
$a_{прод} = 2R \frac{d^{2} \phi }{dt^{2} }= 2 \sqrt{h^{2} + d^{2}} \frac{d^{2} \phi}{dt^{2} }$,
и поперечного (к скорости), или центростремительного ускорения, равного
$a_{попер} = R(2 \omega )^{2} = 4 \sqrt{h^{2} + d^{2} } \left ( \frac{d \phi}{dt} \right )^{2}$.
Окончательно, модуль ускорения изображения осы равен
$a = \sqrt{a_{прод}^{2} + a_{попер}^{2} } = \frac{g \sqrt{h^{2} + d^{2} } }{L} \sqrt{9 \sin^{2} \phi + 144( \cos \phi - \cos \alpha_{0} )^{2} }$.
К потолку на шарнире подвешено плоское зеркало, представляющее собой тонкую прямоугольную пластину длиной $L$. Горизонтальная ось шарнира и одна сторона прямоугольника (зеркала) совпадают. На вертикальной стене, находящейся на расстоянии $d$ от оси шарнира, сидит оса. Расстояние от потолка до осы равно $h$. Зеркало отклоняют от положения равновесия в направлении от стены на угол $\alpha_{0}$, удерживают его, а затем отпускают. Каковы скорость $v$ и ускорение $a$ изображения осы в момент времени, когда плоскость зеркала составляет угол $\phi$ с вертикалью? Трения нет.
Решение:
Оса неподвижна, поэтому сначала нужно найти параметры движения зеркала: угловую скорость и угловое ускорение в момент времени, когда плоскость зеркала составляет с вертикалью угол $\phi$ (см. рисунок). Качающееся зеркало представляет собой физический маятник, у которого при отсутствии трения сохраняется механическая энергия. Эта энергия складывается из потенциальной энергии зеркала в поле тяжести Земли и кинетической энергии вращательного движения зеркала. Если массу зеркала обозначить $M$, то потенциальная энергия, отсчитываемая от положения, когда плоскость зеркала занимает горизонтальное положение, равна
$- Mg \frac{L}{2} \cos \phi$.
этот же момент времени кинетическая энергия равна
$\left ( \frac{ d \phi }{dt} \right )^{2} \frac{M}{2L} \int_{0}^{L} x^{2}dx = \left ( \frac{d \phi }{dt} \right )^{2} \frac{L^{2}M }{6}$.
соответствии с законом сохранения энергии,
$\left ( \frac{d \phi }{dt} \right )^{2} \frac{L^{2}M }{6} - \frac{MgL}{2} \cos \phi = - \frac{MgL}{2} \cos \alpha_{0}$.
Отсюда можно найти угловую скорость вращения зеркала:
$\omega = \frac{d \phi}{dt} = \sqrt{ \frac{3g}{L} ( \cos \phi - \cos \alpha_{0} )}$.
Если продифференцировать полученное соотношение по времени (левую и правую его части), то найдем угловое ускорение зеркала:
$\epsilon = \frac{d \omega }{dt} = \frac{d^{2} \phi }{dt^{2} } = - \frac{3g}{2L} \sin \phi$.
Изображение осы всегда находится на одном и том же расстоянии от оси вращения зеркала, т.е. оно движется по окружности радиусом $R = \sqrt{h^{2} + d^{2}}$. Угловая скорость движения отрезка, соединяющего ось вращения зеркала и изображение осы, в два раза больше угловой скорости вращения зеркала, поэтому скорость изображения равна
$v = R \cdot 2 \omega = 2 \sqrt{ \frac{3g(h^{2} + d^{2} )}{L} ( \cos \phi - \cos \alpha_{0} ) }$.
Угловое ускорение этого же отрезка, очевидно, тоже в два раза больше углового ускорения зеркала. Ускорение изображения осы складывается из двух составляющих: продольного (вдоль скорости движения) ускорения, равного
$a_{прод} = 2R \frac{d^{2} \phi }{dt^{2} }= 2 \sqrt{h^{2} + d^{2}} \frac{d^{2} \phi}{dt^{2} }$,
и поперечного (к скорости), или центростремительного ускорения, равного
$a_{попер} = R(2 \omega )^{2} = 4 \sqrt{h^{2} + d^{2} } \left ( \frac{d \phi}{dt} \right )^{2}$.
Окончательно, модуль ускорения изображения осы равен
$a = \sqrt{a_{прод}^{2} + a_{попер}^{2} } = \frac{g \sqrt{h^{2} + d^{2} } }{L} \sqrt{9 \sin^{2} \phi + 144( \cos \phi - \cos \alpha_{0} )^{2} }$.
