Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13565
2020-02-29 
В сеть (220В, 50Гц) включена электрическая схема с двумя катушками индуктивности, двумя ключами и тремя идеальными приборами, показывающими эффективные значения параметров (см. рисунок). Когда ключ $K_{1}$ находится в верхнем положении, а ключ $K_{2}$ разомкнут, амперметр показывает ток $I_{1} = 1 А$, верхний вольтметр показывает напряжение $U = 220 В$, а нижний вольтметр показывает напряжение $U_{1} = 55 В$. Если ключ $K_{1}$ перевести в нижнее положение, оставив $K_{2}$ разомкнутым, то амперметр показывает $I_{2} = 4 А$, нижний вольтметр показывает напряжение $U = 220 В$. Какое напряжение $U_{2}$ в этом случае показывает верхний вольтметр? Что будут показывать все приборы, если ключ $K_{2}$ перевести в замкнутое положение?
Решение:
При разомкнутом ключе $K_{2}$ оба вольтметра показывают ненулевые напряжения - это означает, что между катушками имеется связь, т.е. одна катушка при протекании по ней тока создает в другой катушке не равный нулю магнитный поток. Обозначим индуктивность верхней катушки $L_{1}$, а индуктивность нижней катушки $L_{2}$. Поскольку $I_{2} = 4I_{1}$, то это означает, что индуктивность второй катушки в 4 раза меньше индуктивности первой катушки. Коэффициент взаимоиндукции обозначим $M$, а угловую частоту - $\omega$. Для эффективных значений токов и напряжений можно написать:
$U = I_{1} \cdot \omega L, U = I_{2} \cdot \omega L_{2}$,
$U_{1} = I_{1} \cdot \omega M, U_{2} = I_{2} \cdot \omega M$.
Отсюда следует
$\omega L_{1} = 220 Ом , \omega L_{2} = 55 Ом , \omega M = 55 Ом$,
и получаем
$U_{2} = I_{2} \cdot \omega M = 220 B$.
Когда ключ $K_{2}$ переведен в положение "замкнуто", токи могут течь по обеим катушкам. Магнитные потоки создаются в каждой катушке и собственным током катушки, и током соседней катушки. При этом напряжения на выводах катушек будут одинаковыми и, очевидно, равными 220 В, поскольку выводы катушек через амперметр, с одной стороны, и напрямую, с другой стороны, подключены к сети:
$U = i_{1} \cdot \omega L_{1} \pm i_{2} \cdot \omega M, U = i_{2} \cdot \omega L_{2} \pm i_{1} \cdot \omega M$,
$i_{1} + i_{2} = i_{A}$,
где $i_{A}$ - ток, текущий через амперметр. Символ $\pm$ означает, что имеются две возможности: либо магнитные поля внутри катушек складываются и усиливают друг друга (+), либо поля частично гасят друг друга (-). В первом случае (+) решение системы уравнений будет таким:
$i_{1} = 0, i_{2} = 4 A$.
Амперметр покажет 4 А, при этом ток будет течь только по второй катушке. А во втором случае (-) токи будут течь по двум катушкам:
$i_{1} = \frac{8}{3} А, i_{2} = \frac{20}{3} А$,
и суммарный ток будет равен
$i_{A} = i_{1} + i_{2} = \frac{28}{3} А$.
В сеть (220В, 50Гц) включена электрическая схема с двумя катушками индуктивности, двумя ключами и тремя идеальными приборами, показывающими эффективные значения параметров (см. рисунок). Когда ключ $K_{1}$ находится в верхнем положении, а ключ $K_{2}$ разомкнут, амперметр показывает ток $I_{1} = 1 А$, верхний вольтметр показывает напряжение $U = 220 В$, а нижний вольтметр показывает напряжение $U_{1} = 55 В$. Если ключ $K_{1}$ перевести в нижнее положение, оставив $K_{2}$ разомкнутым, то амперметр показывает $I_{2} = 4 А$, нижний вольтметр показывает напряжение $U = 220 В$. Какое напряжение $U_{2}$ в этом случае показывает верхний вольтметр? Что будут показывать все приборы, если ключ $K_{2}$ перевести в замкнутое положение?
Решение:
При разомкнутом ключе $K_{2}$ оба вольтметра показывают ненулевые напряжения - это означает, что между катушками имеется связь, т.е. одна катушка при протекании по ней тока создает в другой катушке не равный нулю магнитный поток. Обозначим индуктивность верхней катушки $L_{1}$, а индуктивность нижней катушки $L_{2}$. Поскольку $I_{2} = 4I_{1}$, то это означает, что индуктивность второй катушки в 4 раза меньше индуктивности первой катушки. Коэффициент взаимоиндукции обозначим $M$, а угловую частоту - $\omega$. Для эффективных значений токов и напряжений можно написать:
$U = I_{1} \cdot \omega L, U = I_{2} \cdot \omega L_{2}$,
$U_{1} = I_{1} \cdot \omega M, U_{2} = I_{2} \cdot \omega M$.
Отсюда следует
$\omega L_{1} = 220 Ом , \omega L_{2} = 55 Ом , \omega M = 55 Ом$,
и получаем
$U_{2} = I_{2} \cdot \omega M = 220 B$.
Когда ключ $K_{2}$ переведен в положение "замкнуто", токи могут течь по обеим катушкам. Магнитные потоки создаются в каждой катушке и собственным током катушки, и током соседней катушки. При этом напряжения на выводах катушек будут одинаковыми и, очевидно, равными 220 В, поскольку выводы катушек через амперметр, с одной стороны, и напрямую, с другой стороны, подключены к сети:
$U = i_{1} \cdot \omega L_{1} \pm i_{2} \cdot \omega M, U = i_{2} \cdot \omega L_{2} \pm i_{1} \cdot \omega M$,
$i_{1} + i_{2} = i_{A}$,
где $i_{A}$ - ток, текущий через амперметр. Символ $\pm$ означает, что имеются две возможности: либо магнитные поля внутри катушек складываются и усиливают друг друга (+), либо поля частично гасят друг друга (-). В первом случае (+) решение системы уравнений будет таким:
$i_{1} = 0, i_{2} = 4 A$.
Амперметр покажет 4 А, при этом ток будет течь только по второй катушке. А во втором случае (-) токи будут течь по двум катушкам:
$i_{1} = \frac{8}{3} А, i_{2} = \frac{20}{3} А$,
и суммарный ток будет равен
$i_{A} = i_{1} + i_{2} = \frac{28}{3} А$.
