Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13562
2020-02-29 
Две пластинки имеют одну и ту же длину $L$, ширину $H$ и толщину $d$, причем $L \gg H \gg d$. Пластинки сделаны из разных металлов, склеены и образуют одну так называемую биметаллическую пластинку толщиной $2d$. Металлы имеют разные коэффициенты теплового расширения $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ и разным модули Юнга $E_{1}$ и $E_{2}$. При некоторой температуре, например комнатной, биметаллическая пластинка прямая, а при повышении температуры на $\Delta t$ градусов она искривляется. До какой температуры нужно нагреть биметаллическую пластинку, чтобы она образовала кольцо?
Решение:
Если бы пластинки не были склеены, то при нагревании каждая из них увеличила бы свою длину, ширину и толщину в одинаковое количество раз в соответствии со своим коэффициентом теплового расширения. Но пластинки скреплены, поэтому та из них, которая при тепловом расширении увеличилась бы в длину больше, будет сжата за счет взаимодействия с другой пластинкой. И, соответственно, та пластинка, которая удлинилась бы за счет теплового расширения меньше, будет дополнительно растянута. Поскольку упругие пластинки будут изгибаться, то каждая из них будет "сопротивляться" изгибу, и в результате будет достигнуто некоторое положение равновесия. Можно разбить все изменения, происходящие с пластинами, на три этапа.
1) Нагрев и удлинение пластинок. При этом удлинения пластинок составят $L \alpha_{1} \Delta t$ и $L \alpha_{2} \Delta t$.
2) Изгиб пластинок таким образом, чтобы радиус кривизны вогнутой поверхности более длинной пластинки был равен радиусу кривизны выпуклой поверхности короткой пластинки. При этом к концам пластинок будут приложены одинаковые по величине и противоположные по направлению моменты сил $M$.
3) Сжатие длинной пластинки и растяжение короткой пластинки одинаковыми силами $F$ так, чтобы длины вогнутой поверхности длинной пластинки и выпуклой поверхности короткой пластинки стали одинаковыми. Второй и третий этапы согласованы друг с другом, т.е. силы $F$ и моменты сил $M$ определенным образом связаны друг с другом. Когда после этих трех этапов пластинки окажутся соединенными, они так и останутся в этих положениях, сохраняя свои формы.
Будем считать, для определенности, что $\alpha_{1} > \alpha_{2}$. Обозначим силу взаимодействия пластинок через $F$. Пластинки изогнутся, и каждая из них за счет деформации изгиба будет "сопротивляться" действию силы $F$ со стороны своей соседки. Изогнутые средние поверхности каждой пластинки, которые при комнатной температуре были плоскостями, находятся на разных расстояниях от центра кривизны. Средняя поверхность более длинной пластинки отстоит на расстояние $R + \frac{d}{2}$, а более короткой пластинки - на расстояние $R - \frac{d}{2}$. Обозначим через $\phi$ угол, который образуют друг с другом плоскости, касательные к краям изогнутой биметаллической пластинки (по условию задачи этот угол должен стать равным $2 \pi$). Он равен $\frac{L}{R}$, так как длина пластинок изменилась мало. Пусть изменения длин пластинок, связанные с нагревом, равны $x_{t1}$ и $x_{t2}$ соответственно, а изменения длин, связанные с взаимодействием пластинок, равны $x_{f1}$ и $x_{f2}$. Растянутая пластинка создает силу $F = Hd \cdot E_{2} \frac{x_{f2}}{L}$. Эта сила распределена по сечению пластинки равномерно, поэтому при расчете момента этой силы можно считать, что место приложения эквивалентной (в смысле создания момента силы) силы смещено относительно поверхности контакта пластин на расстояние $\frac{d}{2}$. Сжатая пластинка создает такую же по величине силу, и место приложения эквивалентной силы для нее тоже смещено относительно поверхности контакта пластин на расстояние $\frac{d}{2}$. В результате возникает внутренний момент сил напряжения, равный
$M_{вн} = Fd$.
Поскольку расстояние до центра кривизны от средней поверхности более длинной пластинки больше, чем соответствующее расстояние для более короткой пластинки, между итоговыми удлинениями пластинок имеется такая геометрическая связь:
$\left ( R + \frac{d}{2} \right ) \phi = L + x_{t1} - x_{f1}, \left ( R - \frac{d}{2} \right ) \phi = L + x_{t2} + x_{f2}$,
или, что то же самое,
$\frac{d}{2R} = \frac{x_{t1} - x_{f1}}{L} = \alpha_{1} \Delta t - \frac{F}{HdE_{1} }$,
$- \frac{d}{2R} = \frac{x_{t2} + x_{f2} }{L} = \alpha_{2} \Delta t + \frac{F}{ HdE_{2} }$.
Вычтем из одного соотношения другое и получим
$\frac{d}{R} = ( \alpha_{1} - \alpha_{2} ) \Delta t - \frac{F}{H dE_{1} } - \frac{F}{HdE_{2} }$. (1)
Найдем теперь суммарный момент сил, с помощью которого обе упругие пластинки сопротивляются изгибающему действию момента сил $Fd$. Если пластинка изогнута и радиус кривизны равен $R$, то создается момент сил за счет упругого сжатия пластинки с одной стороны от средней поверхности и упругого растяжения пластинки с другой стороны от этой средней поверхности. Добавочное (связанное с изгибом) напряжение в металле нарастает по величине пропорционально удалению от среднего положения. Момент сил одной изогнутой пластинки равен
$M_{i} = \int_{-d/2}^{+d/2} y \frac{ \phi R - \phi y - L}{L} E_{i} Hdy = \int_{-d/2}^{+d/2} \frac{y^{2} }{R} E_{i} Hdy = 2 \frac{ \left ( \frac{d}{2} \right )^{3} }{3R} E_{i}H = \frac{d^{3} }{12R} E_{i}H$.
Суммарный момент сил, создаваемый двумя изогнутыми пластинками, равен
$M_{i \: сум} = \frac{d^{3}}{12R}(E_{1} + E_{2} )H$.
Приравняем его внутреннему моменту сил:
$M_{iсум} = M_{вн}$, или $\frac{d^{3} }{12R} (E_{1} + E_{2} ) H = Fd$. (2)
Комбинируя уравнения (1) и (2), можно исключить величину $F$. В результате получаем выражение для радиуса кривизны $R$ биметаллической пластинки:
$R = \frac{d}{ \Delta t ( \alpha_{1} - \alpha_{2} ) } \left ( 1 + \frac{1}{12} \left ( \frac{E_{1} }{E_{2} } + 2 + \frac{E_{2} }{E_{1} } \right ) \right )$.
Чем сильнее изогнута пластинка, тем меньше радиус ее кривизны $R$. При фиксированной разнице коэффициентов теплового расширения металлов радиус кривизны будет минимальным, когда модули Юнга металлов одинаковы:
$R_{min} = \frac{4}{3} \frac{d}{ \Delta t ( \alpha_{1} - \alpha_{2} ) }$.
В случае, когда модули Юнга материалов сильно отличаются, радиус кривизны пластинки будет очень большим, т.е. пластинка будет почти прямой и не будет изгибаться при изменении температуры.
Чтобы выполнялось условие задачи, т.е. чтобы пластинка свернулась в кольцо, между радиусом кривизны пластинки и ее длиной должно быть выполнено такое соотношение: $2 \pi R = L$. Отсюда следует, что биметаллическую пластинку нужно нагреть на
$\Delta L = \frac{2 \pi d}{L ( \alpha_{1} - \alpha_{2} ) } \left ( 1 + \frac{1}{12} \left ( \frac{E_{1} }{E_{2} } + 2 + \frac{E_{2} }{E_{1} } \right ) \right )$.
Две пластинки имеют одну и ту же длину $L$, ширину $H$ и толщину $d$, причем $L \gg H \gg d$. Пластинки сделаны из разных металлов, склеены и образуют одну так называемую биметаллическую пластинку толщиной $2d$. Металлы имеют разные коэффициенты теплового расширения $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ и разным модули Юнга $E_{1}$ и $E_{2}$. При некоторой температуре, например комнатной, биметаллическая пластинка прямая, а при повышении температуры на $\Delta t$ градусов она искривляется. До какой температуры нужно нагреть биметаллическую пластинку, чтобы она образовала кольцо?
Решение:
Если бы пластинки не были склеены, то при нагревании каждая из них увеличила бы свою длину, ширину и толщину в одинаковое количество раз в соответствии со своим коэффициентом теплового расширения. Но пластинки скреплены, поэтому та из них, которая при тепловом расширении увеличилась бы в длину больше, будет сжата за счет взаимодействия с другой пластинкой. И, соответственно, та пластинка, которая удлинилась бы за счет теплового расширения меньше, будет дополнительно растянута. Поскольку упругие пластинки будут изгибаться, то каждая из них будет "сопротивляться" изгибу, и в результате будет достигнуто некоторое положение равновесия. Можно разбить все изменения, происходящие с пластинами, на три этапа.
1) Нагрев и удлинение пластинок. При этом удлинения пластинок составят $L \alpha_{1} \Delta t$ и $L \alpha_{2} \Delta t$.
2) Изгиб пластинок таким образом, чтобы радиус кривизны вогнутой поверхности более длинной пластинки был равен радиусу кривизны выпуклой поверхности короткой пластинки. При этом к концам пластинок будут приложены одинаковые по величине и противоположные по направлению моменты сил $M$.
3) Сжатие длинной пластинки и растяжение короткой пластинки одинаковыми силами $F$ так, чтобы длины вогнутой поверхности длинной пластинки и выпуклой поверхности короткой пластинки стали одинаковыми. Второй и третий этапы согласованы друг с другом, т.е. силы $F$ и моменты сил $M$ определенным образом связаны друг с другом. Когда после этих трех этапов пластинки окажутся соединенными, они так и останутся в этих положениях, сохраняя свои формы.
Будем считать, для определенности, что $\alpha_{1} > \alpha_{2}$. Обозначим силу взаимодействия пластинок через $F$. Пластинки изогнутся, и каждая из них за счет деформации изгиба будет "сопротивляться" действию силы $F$ со стороны своей соседки. Изогнутые средние поверхности каждой пластинки, которые при комнатной температуре были плоскостями, находятся на разных расстояниях от центра кривизны. Средняя поверхность более длинной пластинки отстоит на расстояние $R + \frac{d}{2}$, а более короткой пластинки - на расстояние $R - \frac{d}{2}$. Обозначим через $\phi$ угол, который образуют друг с другом плоскости, касательные к краям изогнутой биметаллической пластинки (по условию задачи этот угол должен стать равным $2 \pi$). Он равен $\frac{L}{R}$, так как длина пластинок изменилась мало. Пусть изменения длин пластинок, связанные с нагревом, равны $x_{t1}$ и $x_{t2}$ соответственно, а изменения длин, связанные с взаимодействием пластинок, равны $x_{f1}$ и $x_{f2}$. Растянутая пластинка создает силу $F = Hd \cdot E_{2} \frac{x_{f2}}{L}$. Эта сила распределена по сечению пластинки равномерно, поэтому при расчете момента этой силы можно считать, что место приложения эквивалентной (в смысле создания момента силы) силы смещено относительно поверхности контакта пластин на расстояние $\frac{d}{2}$. Сжатая пластинка создает такую же по величине силу, и место приложения эквивалентной силы для нее тоже смещено относительно поверхности контакта пластин на расстояние $\frac{d}{2}$. В результате возникает внутренний момент сил напряжения, равный
$M_{вн} = Fd$.
Поскольку расстояние до центра кривизны от средней поверхности более длинной пластинки больше, чем соответствующее расстояние для более короткой пластинки, между итоговыми удлинениями пластинок имеется такая геометрическая связь:
$\left ( R + \frac{d}{2} \right ) \phi = L + x_{t1} - x_{f1}, \left ( R - \frac{d}{2} \right ) \phi = L + x_{t2} + x_{f2}$,
или, что то же самое,
$\frac{d}{2R} = \frac{x_{t1} - x_{f1}}{L} = \alpha_{1} \Delta t - \frac{F}{HdE_{1} }$,
$- \frac{d}{2R} = \frac{x_{t2} + x_{f2} }{L} = \alpha_{2} \Delta t + \frac{F}{ HdE_{2} }$.
Вычтем из одного соотношения другое и получим
$\frac{d}{R} = ( \alpha_{1} - \alpha_{2} ) \Delta t - \frac{F}{H dE_{1} } - \frac{F}{HdE_{2} }$. (1)
Найдем теперь суммарный момент сил, с помощью которого обе упругие пластинки сопротивляются изгибающему действию момента сил $Fd$. Если пластинка изогнута и радиус кривизны равен $R$, то создается момент сил за счет упругого сжатия пластинки с одной стороны от средней поверхности и упругого растяжения пластинки с другой стороны от этой средней поверхности. Добавочное (связанное с изгибом) напряжение в металле нарастает по величине пропорционально удалению от среднего положения. Момент сил одной изогнутой пластинки равен
$M_{i} = \int_{-d/2}^{+d/2} y \frac{ \phi R - \phi y - L}{L} E_{i} Hdy = \int_{-d/2}^{+d/2} \frac{y^{2} }{R} E_{i} Hdy = 2 \frac{ \left ( \frac{d}{2} \right )^{3} }{3R} E_{i}H = \frac{d^{3} }{12R} E_{i}H$.
Суммарный момент сил, создаваемый двумя изогнутыми пластинками, равен
$M_{i \: сум} = \frac{d^{3}}{12R}(E_{1} + E_{2} )H$.
Приравняем его внутреннему моменту сил:
$M_{iсум} = M_{вн}$, или $\frac{d^{3} }{12R} (E_{1} + E_{2} ) H = Fd$. (2)
Комбинируя уравнения (1) и (2), можно исключить величину $F$. В результате получаем выражение для радиуса кривизны $R$ биметаллической пластинки:
$R = \frac{d}{ \Delta t ( \alpha_{1} - \alpha_{2} ) } \left ( 1 + \frac{1}{12} \left ( \frac{E_{1} }{E_{2} } + 2 + \frac{E_{2} }{E_{1} } \right ) \right )$.
Чем сильнее изогнута пластинка, тем меньше радиус ее кривизны $R$. При фиксированной разнице коэффициентов теплового расширения металлов радиус кривизны будет минимальным, когда модули Юнга металлов одинаковы:
$R_{min} = \frac{4}{3} \frac{d}{ \Delta t ( \alpha_{1} - \alpha_{2} ) }$.
В случае, когда модули Юнга материалов сильно отличаются, радиус кривизны пластинки будет очень большим, т.е. пластинка будет почти прямой и не будет изгибаться при изменении температуры.
Чтобы выполнялось условие задачи, т.е. чтобы пластинка свернулась в кольцо, между радиусом кривизны пластинки и ее длиной должно быть выполнено такое соотношение: $2 \pi R = L$. Отсюда следует, что биметаллическую пластинку нужно нагреть на
$\Delta L = \frac{2 \pi d}{L ( \alpha_{1} - \alpha_{2} ) } \left ( 1 + \frac{1}{12} \left ( \frac{E_{1} }{E_{2} } + 2 + \frac{E_{2} }{E_{1} } \right ) \right )$.
