Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1356
2016-11-18 
В последнюю секунду свободного падения с нулевой начальной скоростью тело прошло путь вдвое больший, чем в предыдущую секунду. С какой высоты упало тело?
Решение:
Обозначим через 0 ту точку, из которой тело начало движение. Начало системы координат помещаем в точку О. Так как тело движется вниз, ось у целесообразно направить также вниз (в этом случае значения координат тела по оси у будут положительными). Движение одномерное вдоль оси у, и оси х на рисунке нет (в любой момент времени координата тела по оси х равна нулю).
Отмечаем на рисунке положение тела в те моменты времени, о которых в задаче идет речь. Таких моментов времени четыре:
1) начальный момент времени $t = 0$ — ему соответствует точка 0;
2) начало предыдущей секунды $t_{1}$ ($t_{1}$ — время, которое показывает секундомер, включенный в момент $t = 0$, в тот момент, когда началась предыдущая секунда);
3) конец предыдущей — начало последней секунды $t_{2}$;
4) конец последней секунды (касание тела с поверхностью земли) $t_{3}$.
Запишем основное уравнение теории:
$y = y_{0} + v_{0y}t + \frac{a_{y}t^{2}}{2}$,
применительно к условиям настоящей задачи. При этом учтем, что $y_{0} = 0$ в силу выбора начала системы отсчета; $v_{0y} = 0$ по условию задачи ($v_{0} = 0$); $a_{y} = g$, поскольку ось у направлена вниз. Таким образом, получаем:
$y = \frac{gt^{2}}{2}$. (1)
Уравнение (1) записываем для всех тех моментов времени, о которых идет речь в условии задачи:
$y_{1} = \frac{gt_{1}^{2}}{2}$, (2)
$y_{2} = \frac{gt_{2}^{2}}{2}$, (3)
$y_{3} = \frac{gt_{3}^{2}}{2}$, (4)
где через $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ обозначены соответствующие данным моментам времени координаты.
Следующий шаг: информацию, содержащуюся в условии задачи в виде текста, следует записать с помощью математических соотношений.
В условии сказано, что пути, пройденные телом в последнюю и предыдущую секунды отличаются в два раза. Из рисунка видно, что путь за предыдущую секунду равен $y_{2} - y_{1}$, а за последнюю — $y_{3} - y_{2}$.
Следовательно:
$y_{3} - y_{2} = 2(y_{2}-y_{1})$ (5)
Кроме того, согласно тексту условия задачи:
$t_{2}-t_{1} = \Delta t$ (6)
$t_{3} - t_{2} = \Delta t$, (7)
где $\Delta t = 1 с$.
На этом заканчивается «физический» этап решения. Переходим к «математическому» этапу. В задаче требуется найти высоту, с которой упало тело. Обращаясь к чертежу, видим, что эта высота есть уз — величина, которая непосредственно входит в систему уравнений.
Анализируем ситуацию: имеем систему из 6 уравнений (2—7) с 6-ю неизвестными $y_{1}, y_{2}, y_{3}, t_{1}, t_{2}, t_{3}$, из которой, следовательно, можно вычислить $y_{3}$.
Подставим $y_{1}, y_{2}$, и $y_{3}$ из (2, 3, 4) в (5) и воспользуемся разложением разности квадратов двух чисел:
$\frac{g}{2}(t_{3}+t_{2})(t_{3}-t_{2}) = \frac{g}{2} 2 (t_{2}+t_{1})(t_{2}-t_{1})$. (8)
С учетом (6) и (7), из (8) находим
$t_{3} + t_{2} = 2 (t_{1} + t_{2})$ или $t_{3} - t_{2} = 2t_{1}$.
С учетом (7), отсюда получаем:
$t_{1} = \frac{ \Delta t}{2}$,
$t_{2} = t_{1} + \Delta t = \frac{3}{2} \Delta t$,
$t_{3} = t_{2} + \Delta t = \frac{5}{2} \Delta t$.
Наконец, окончательно находим:
$y_{3} = \frac{g \left ( \frac{5}{2} \Delta t \right )^{2}}{2} = \frac{10 \left ( \frac{5}{2} \right )^{2}}{2} = 31,25 м$.
В последнюю секунду свободного падения с нулевой начальной скоростью тело прошло путь вдвое больший, чем в предыдущую секунду. С какой высоты упало тело?
Решение:
Обозначим через 0 ту точку, из которой тело начало движение. Начало системы координат помещаем в точку О. Так как тело движется вниз, ось у целесообразно направить также вниз (в этом случае значения координат тела по оси у будут положительными). Движение одномерное вдоль оси у, и оси х на рисунке нет (в любой момент времени координата тела по оси х равна нулю).
Отмечаем на рисунке положение тела в те моменты времени, о которых в задаче идет речь. Таких моментов времени четыре:
1) начальный момент времени $t = 0$ — ему соответствует точка 0;
2) начало предыдущей секунды $t_{1}$ ($t_{1}$ — время, которое показывает секундомер, включенный в момент $t = 0$, в тот момент, когда началась предыдущая секунда);
3) конец предыдущей — начало последней секунды $t_{2}$;
4) конец последней секунды (касание тела с поверхностью земли) $t_{3}$.
Запишем основное уравнение теории:
$y = y_{0} + v_{0y}t + \frac{a_{y}t^{2}}{2}$,
применительно к условиям настоящей задачи. При этом учтем, что $y_{0} = 0$ в силу выбора начала системы отсчета; $v_{0y} = 0$ по условию задачи ($v_{0} = 0$); $a_{y} = g$, поскольку ось у направлена вниз. Таким образом, получаем:
$y = \frac{gt^{2}}{2}$. (1)
Уравнение (1) записываем для всех тех моментов времени, о которых идет речь в условии задачи:
$y_{1} = \frac{gt_{1}^{2}}{2}$, (2)
$y_{2} = \frac{gt_{2}^{2}}{2}$, (3)
$y_{3} = \frac{gt_{3}^{2}}{2}$, (4)
где через $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ обозначены соответствующие данным моментам времени координаты.
Следующий шаг: информацию, содержащуюся в условии задачи в виде текста, следует записать с помощью математических соотношений.
В условии сказано, что пути, пройденные телом в последнюю и предыдущую секунды отличаются в два раза. Из рисунка видно, что путь за предыдущую секунду равен $y_{2} - y_{1}$, а за последнюю — $y_{3} - y_{2}$.
Следовательно:
$y_{3} - y_{2} = 2(y_{2}-y_{1})$ (5)
Кроме того, согласно тексту условия задачи:
$t_{2}-t_{1} = \Delta t$ (6)
$t_{3} - t_{2} = \Delta t$, (7)
где $\Delta t = 1 с$.
На этом заканчивается «физический» этап решения. Переходим к «математическому» этапу. В задаче требуется найти высоту, с которой упало тело. Обращаясь к чертежу, видим, что эта высота есть уз — величина, которая непосредственно входит в систему уравнений.
Анализируем ситуацию: имеем систему из 6 уравнений (2—7) с 6-ю неизвестными $y_{1}, y_{2}, y_{3}, t_{1}, t_{2}, t_{3}$, из которой, следовательно, можно вычислить $y_{3}$.
Подставим $y_{1}, y_{2}$, и $y_{3}$ из (2, 3, 4) в (5) и воспользуемся разложением разности квадратов двух чисел:
$\frac{g}{2}(t_{3}+t_{2})(t_{3}-t_{2}) = \frac{g}{2} 2 (t_{2}+t_{1})(t_{2}-t_{1})$. (8)
С учетом (6) и (7), из (8) находим
$t_{3} + t_{2} = 2 (t_{1} + t_{2})$ или $t_{3} - t_{2} = 2t_{1}$.
С учетом (7), отсюда получаем:
$t_{1} = \frac{ \Delta t}{2}$,
$t_{2} = t_{1} + \Delta t = \frac{3}{2} \Delta t$,
$t_{3} = t_{2} + \Delta t = \frac{5}{2} \Delta t$.
Наконец, окончательно находим:
$y_{3} = \frac{g \left ( \frac{5}{2} \Delta t \right )^{2}}{2} = \frac{10 \left ( \frac{5}{2} \right )^{2}}{2} = 31,25 м$.
