Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13558
2020-02-29 
Вася получил такое задание: на длинным диэлектрический цилиндр с внешним радиусом $R$ намотать тонкую проволоку фиксированной длины так, чтобы в одной из точек на оси симметрии цилиндра можно было создать максимальную индукцию магнитного поля при пропускании по проволоке фиксированного постоянного тока. Когда задание было выполнено, оказалось, что максимальная толщина $h$ всех слоев проволоки на цилиндре равна $R$. Каким при этом оказалось максимальное расстояние между витками намотки вдоль оси цилиндра?
Решение:
Задание Васе поставлено так, что он должен выбрать форму намотки. Условие максимальности поля в одной точке сводится к тому, что каждый виток проволоки должен создавать в выбранной точке на оси цилиндра магнитное поле, параллельное оси цилиндра, и все витки, находящиеся на самом верху, должны давать одинаковый вклад в магнитное поле в этой точке. Если бы это было не так, то существовали бы витки самого верхнего слоя с разными вкладами в поле в выбранной точке, тогда виток с самым малым вкладом можно было бы разместить в другом месте, где его вклад стал бы больше. На рисунке голубым цветом показан цилиндр, а красными изогнутыми линиями отмечено положение поверхностных витков намотки. От каждого из них, где бы он ни находился, вклад в поле в выбранной точке на оси один и тот же. Пусть точка, в которой нужно получить максимальное поле, это начало координат, а нужный нам виток из тонкой проволоки на поверхности намотки (синяя линия) имеет координату x вдоль оси цилиндра и координату $R + y$ поперек оси цилиндра. Вклад в магнитное поле от этого витка при токе $i$ в витке пропорционален току и определенной функции координат. Красная стрелка на рисунке указывает расположение небольшого участка витка проволоки, в котором положительные носители движутся перпендикулярно плоскости рисунка "к нам", а черной стрелкой показано магнитное поле $B$, созданное этим участком в точке на оси цилиндра. При суммировании вкладов от всех участков этого витка сложатся их проекции на ось цилиндра, а все поперечные к оси цилиндра составляющие полей скомпенсируют друг друга.
В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа, вклад в магнитное поле от этого витка пропорционален току, длине витка, косинусу угла, который составляют с осью цилиндра векторы индивидуальных вкладов малых участков этого витка, и обратно пропорционален квадрату расстояния от точки на оси до точек витка:
$\Delta B \sim i \frac{2 \pi (R + y)}{(R + y)^{2} + x^{2} } \frac{R + y}{ \sqrt{(R + y)^{2} + x^{2} } } = i \frac{2 \pi (R + y)^{2} }{((R + y)^{2} + x^{2} )^{3/2} }$.
Из условия максимальности полученного поля следует, что все витки, находящиеся на поверхности намотки, создают одинаковые вклады в магнитное поле в нужной точке. Отсюда вывод: для всех таких витков должно выполняться равенство
$\frac{(R + y)^{2}}{((R + y)^{2} + x^{2} )^{3/2}} = \frac{1}{R + h}$.
Подставив в это равенство значение $y = 0$, найдем $x$:
$x = \sqrt{(R^{4} (R + h)^{2} )^{1/3} - R^{2}}$.
При $h = R$ $x = R \sqrt{2^{2/3} - 1} \approx 0,766R$, а значит, максимальное расстояние между витками намотки вдоль оси цилиндра равно
$L = 2x \approx 1,53R$.
Вася получил такое задание: на длинным диэлектрический цилиндр с внешним радиусом $R$ намотать тонкую проволоку фиксированной длины так, чтобы в одной из точек на оси симметрии цилиндра можно было создать максимальную индукцию магнитного поля при пропускании по проволоке фиксированного постоянного тока. Когда задание было выполнено, оказалось, что максимальная толщина $h$ всех слоев проволоки на цилиндре равна $R$. Каким при этом оказалось максимальное расстояние между витками намотки вдоль оси цилиндра?
Решение:
Задание Васе поставлено так, что он должен выбрать форму намотки. Условие максимальности поля в одной точке сводится к тому, что каждый виток проволоки должен создавать в выбранной точке на оси цилиндра магнитное поле, параллельное оси цилиндра, и все витки, находящиеся на самом верху, должны давать одинаковый вклад в магнитное поле в этой точке. Если бы это было не так, то существовали бы витки самого верхнего слоя с разными вкладами в поле в выбранной точке, тогда виток с самым малым вкладом можно было бы разместить в другом месте, где его вклад стал бы больше. На рисунке голубым цветом показан цилиндр, а красными изогнутыми линиями отмечено положение поверхностных витков намотки. От каждого из них, где бы он ни находился, вклад в поле в выбранной точке на оси один и тот же. Пусть точка, в которой нужно получить максимальное поле, это начало координат, а нужный нам виток из тонкой проволоки на поверхности намотки (синяя линия) имеет координату x вдоль оси цилиндра и координату $R + y$ поперек оси цилиндра. Вклад в магнитное поле от этого витка при токе $i$ в витке пропорционален току и определенной функции координат. Красная стрелка на рисунке указывает расположение небольшого участка витка проволоки, в котором положительные носители движутся перпендикулярно плоскости рисунка "к нам", а черной стрелкой показано магнитное поле $B$, созданное этим участком в точке на оси цилиндра. При суммировании вкладов от всех участков этого витка сложатся их проекции на ось цилиндра, а все поперечные к оси цилиндра составляющие полей скомпенсируют друг друга.
В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа, вклад в магнитное поле от этого витка пропорционален току, длине витка, косинусу угла, который составляют с осью цилиндра векторы индивидуальных вкладов малых участков этого витка, и обратно пропорционален квадрату расстояния от точки на оси до точек витка:
$\Delta B \sim i \frac{2 \pi (R + y)}{(R + y)^{2} + x^{2} } \frac{R + y}{ \sqrt{(R + y)^{2} + x^{2} } } = i \frac{2 \pi (R + y)^{2} }{((R + y)^{2} + x^{2} )^{3/2} }$.
Из условия максимальности полученного поля следует, что все витки, находящиеся на поверхности намотки, создают одинаковые вклады в магнитное поле в нужной точке. Отсюда вывод: для всех таких витков должно выполняться равенство
$\frac{(R + y)^{2}}{((R + y)^{2} + x^{2} )^{3/2}} = \frac{1}{R + h}$.
Подставив в это равенство значение $y = 0$, найдем $x$:
$x = \sqrt{(R^{4} (R + h)^{2} )^{1/3} - R^{2}}$.
При $h = R$ $x = R \sqrt{2^{2/3} - 1} \approx 0,766R$, а значит, максимальное расстояние между витками намотки вдоль оси цилиндра равно
$L = 2x \approx 1,53R$.
