Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13557
2020-02-29 
На столе на высокой непроводящей подставке закреплен маленький шарик с зарядом $Q$. На другой подставке такой же высоты, которая находится на расстоянии $L$ от первой, закреплен шарнир. В шарнир вставлен и может свободно вращаться невесомый стержень, длина которого много меньше $L$. На концах этого стержня закреплены два маленьких шарика массой $m$ каждый с зарядами $+q$ и $-q$. Расстояния от шариков до оси вращения одинаковы. Диполь - два шарика с разными зарядами на стержне - раскрутили, и он начал быстро вращаться. Период обращения диполя равен $T$. Заряд $Q$ и заряды $+q$ и $-q$ всегда находятся в одной и той же горизонтальной плоскости. С какой средней по времени силой взаимодействуют точечный заряд и диполь?
Решение:
В условии сказано, что диполь вращается быстро, из чего можно сделать вывод, что угловая скорость его вращения изменяется мало. Пусть $\omega$ - угловая скорость вращения диполя в момент, когда стержень диполя перпендикулярен отрезку, на концах $A$ и $B$ которого находятся точечный заряд $Q$ и центр окружности, по которой движутся шарики диполя. В этот момент потенциальную энергию взаимодействия точечного заряда и диполя будем считать равной нулю. Тогда в моменты времени, когда стержень параллелен отрезку $AB$, его угловая скорость либо больше, либо меньше $\omega$ - это связано с взаимодействием электрических зарядов. В эти моменты потенциальная энергия взаимодействия диполя с точечным зарядом равна $\pm \frac{2kQqd}{L^{2}}$, где $d$ - расстояние от зарядов $+q$ и $-q$ до середины стержня. Сумма потенциальной и кинетической энергий сохраняется, поэтому можно записать
$2 \frac{kQqd}{L^{2} } + 2 \frac{m \omega_{min}^{2}d^{2}}{2} = 2 \frac{m \omega_{max}^{2}d^{2}}{2} - 2 \frac{kQqd}{L^{2} } = 2 \frac{m \omega^{2}d^{2} }{2}$.
Быстрое вращение означает, что $\frac{ \omega_{max} - \omega_{min} }{ \omega } \ll 1$, а следовательно, $\frac{2kQqd}{L^{2}} \ll m \omega^{2}d^{2}$. Обозначим через $\beta$ отношение этих двух величин:
$\beta = \frac{ \frac{2kQqd}{L^{2} } }{m \omega^{2}d^{2} } = \frac{ \frac{2kQq}{L^{2} } }{m \omega^{2}d } \ll 1$.
Если угол, составленный стержнем и отрезком $AB$, равен $\alpha$, то потенциальная энергия взаимодействия диполя с точечным зарядом равна $- \frac{2kQqd}{L^{2}} \cos \alpha$, и угловую скорость $\omega_{ \alpha}$ можно найти из соотношения
$- \frac{2kQqd}{L^{2} } \cos \alpha + m \omega_{ \alpha}^{2} d^{2} = m \omega^{2}d^{2}$,
откуда
$\frac{ \omega_{ \alpha}^{2} }{ \omega^{2} } = 1 + \beta \cos \alpha$, и $\omega_{ \alpha} = \omega \left ( 1 + \frac{ \beta \cos \alpha }{2} \right )$.
Для поворота стержня на угол $\Delta \alpha$ требуется время $\Delta t = \frac{ \Delta \alpha}{ \omega_{ \alpha} }$. В течение этого времени на диполь со стороны электрического поля, созданного точечным зарядом $Q$, действует сила $F$, зависящая от угла $\alpha$. Действительно, при $\alpha \neq \frac{ \pi}{2}$ один из зарядов ($+q$ или $-q$) находится ближе к заряду $Q$, поэтому суммарная сила не равна нулю:
$F( \alpha) = \frac{kQq}{(L + d \cos \alpha )^{2} } - \frac{kQq}{(L - d \cos \alpha)^{2} } \approx - \frac{4kQqd }{L^{3} } \cos \alpha = - F_{0} \cos \alpha$.
Импульс этой силы за время действия $\Delta t$ равен
$F ( \alpha) \Delta t = F( \alpha ) \frac{ \Delta \alpha}{ \omega_{ \alpha} } = - \frac{F_{0} }{ \omega} \left ( 1 - \frac{ \beta \cos \alpha }{2} \right ) \cos \alpha \cdot \Delta \alpha$.
Средняя за период $T = \frac{ 2 \pi }{ \omega}$ по времени сила взаимодействия, которая будет соответствовать отталкиванию точечного заряда и диполя, получится такой:
$F_{ср} = \frac{1}{T} \int_{0}^{2 \pi / \omega}F( \alpha) dt( \alpha) = \beta \frac{F_{0} }{2 \omega T} \int_{0}^{2 \pi} \cos^{2} \alpha d \alpha = \beta \frac{F_{0} }{4} = \frac{(kQqT)^{2} }{2 \pi^{2}mL^{5} }$,
где $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$ - это электрическая постоянная. Как видно, средняя сила не зависит от длины стержня.
На столе на высокой непроводящей подставке закреплен маленький шарик с зарядом $Q$. На другой подставке такой же высоты, которая находится на расстоянии $L$ от первой, закреплен шарнир. В шарнир вставлен и может свободно вращаться невесомый стержень, длина которого много меньше $L$. На концах этого стержня закреплены два маленьких шарика массой $m$ каждый с зарядами $+q$ и $-q$. Расстояния от шариков до оси вращения одинаковы. Диполь - два шарика с разными зарядами на стержне - раскрутили, и он начал быстро вращаться. Период обращения диполя равен $T$. Заряд $Q$ и заряды $+q$ и $-q$ всегда находятся в одной и той же горизонтальной плоскости. С какой средней по времени силой взаимодействуют точечный заряд и диполь?
Решение:
В условии сказано, что диполь вращается быстро, из чего можно сделать вывод, что угловая скорость его вращения изменяется мало. Пусть $\omega$ - угловая скорость вращения диполя в момент, когда стержень диполя перпендикулярен отрезку, на концах $A$ и $B$ которого находятся точечный заряд $Q$ и центр окружности, по которой движутся шарики диполя. В этот момент потенциальную энергию взаимодействия точечного заряда и диполя будем считать равной нулю. Тогда в моменты времени, когда стержень параллелен отрезку $AB$, его угловая скорость либо больше, либо меньше $\omega$ - это связано с взаимодействием электрических зарядов. В эти моменты потенциальная энергия взаимодействия диполя с точечным зарядом равна $\pm \frac{2kQqd}{L^{2}}$, где $d$ - расстояние от зарядов $+q$ и $-q$ до середины стержня. Сумма потенциальной и кинетической энергий сохраняется, поэтому можно записать
$2 \frac{kQqd}{L^{2} } + 2 \frac{m \omega_{min}^{2}d^{2}}{2} = 2 \frac{m \omega_{max}^{2}d^{2}}{2} - 2 \frac{kQqd}{L^{2} } = 2 \frac{m \omega^{2}d^{2} }{2}$.
Быстрое вращение означает, что $\frac{ \omega_{max} - \omega_{min} }{ \omega } \ll 1$, а следовательно, $\frac{2kQqd}{L^{2}} \ll m \omega^{2}d^{2}$. Обозначим через $\beta$ отношение этих двух величин:
$\beta = \frac{ \frac{2kQqd}{L^{2} } }{m \omega^{2}d^{2} } = \frac{ \frac{2kQq}{L^{2} } }{m \omega^{2}d } \ll 1$.
Если угол, составленный стержнем и отрезком $AB$, равен $\alpha$, то потенциальная энергия взаимодействия диполя с точечным зарядом равна $- \frac{2kQqd}{L^{2}} \cos \alpha$, и угловую скорость $\omega_{ \alpha}$ можно найти из соотношения
$- \frac{2kQqd}{L^{2} } \cos \alpha + m \omega_{ \alpha}^{2} d^{2} = m \omega^{2}d^{2}$,
откуда
$\frac{ \omega_{ \alpha}^{2} }{ \omega^{2} } = 1 + \beta \cos \alpha$, и $\omega_{ \alpha} = \omega \left ( 1 + \frac{ \beta \cos \alpha }{2} \right )$.
Для поворота стержня на угол $\Delta \alpha$ требуется время $\Delta t = \frac{ \Delta \alpha}{ \omega_{ \alpha} }$. В течение этого времени на диполь со стороны электрического поля, созданного точечным зарядом $Q$, действует сила $F$, зависящая от угла $\alpha$. Действительно, при $\alpha \neq \frac{ \pi}{2}$ один из зарядов ($+q$ или $-q$) находится ближе к заряду $Q$, поэтому суммарная сила не равна нулю:
$F( \alpha) = \frac{kQq}{(L + d \cos \alpha )^{2} } - \frac{kQq}{(L - d \cos \alpha)^{2} } \approx - \frac{4kQqd }{L^{3} } \cos \alpha = - F_{0} \cos \alpha$.
Импульс этой силы за время действия $\Delta t$ равен
$F ( \alpha) \Delta t = F( \alpha ) \frac{ \Delta \alpha}{ \omega_{ \alpha} } = - \frac{F_{0} }{ \omega} \left ( 1 - \frac{ \beta \cos \alpha }{2} \right ) \cos \alpha \cdot \Delta \alpha$.
Средняя за период $T = \frac{ 2 \pi }{ \omega}$ по времени сила взаимодействия, которая будет соответствовать отталкиванию точечного заряда и диполя, получится такой:
$F_{ср} = \frac{1}{T} \int_{0}^{2 \pi / \omega}F( \alpha) dt( \alpha) = \beta \frac{F_{0} }{2 \omega T} \int_{0}^{2 \pi} \cos^{2} \alpha d \alpha = \beta \frac{F_{0} }{4} = \frac{(kQqT)^{2} }{2 \pi^{2}mL^{5} }$,
где $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$ - это электрическая постоянная. Как видно, средняя сила не зависит от длины стержня.
