Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13554
2020-02-29 
Концы однородной цепочки длиной $L$ и массой $M$ закреплены, и цепочка, состоящая из множества звеньев, свободно висит в воздухе. Касательные к цепочке в местах крепления концов составляют с горизонтом углы $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha > \beta$). Каково натяжение цепочки в самой нижней ее точке? Какова разность уровней (по вертикали) точек, в которых находятся самое верхнее и самое нижнее звенья цепочки?
Решение:
Цепочка висит неподвижно, поэтому сумма действующих на цепочку сил равна нулю. Обозначим силы, приложенные к концам цепочки, через $F_{ \alpha}$ и $F_{ \beta}$. Из условий статики следует, что
$F_{ \alpha} \cos \alpha = F_{ \beta} \cos \beta$,
$F_{ \alpha} \sin \alpha + F_{ \beta} \sin \beta = Mg$.
Отсюда можно найти величины этих сил:
$F_{ \alpha} = \frac{Mg \cos \beta}{ \sin ( \alpha + \beta ) }$,
$F_{ \beta} = \frac{Mg \cos \alpha}{ \sin ( \alpha + \beta )}$.
В самой нижней точке цепочка натянута с силой
$F_{н} = F_{ \alpha} \cos \alpha = F_{ \beta} \cos \beta = \frac{Mg}{tg \alpha + tg \beta }$.
Если звенья цепочки находятся на разных по вертикали уровнях и разница уровней равна $h$, то разность сил натяжения цепочки равна $\frac{Mgh}{L}$. Это легко доказать. Например, так. Предположим, что такая же цепочка, т.е. с таким же отношением $\frac{M}{L}$, перекинута через два маленьких блока, которые расположены так же, как и места крепления нашей цепочки, цепочка длинная и свободные ее участки лежат на горизонтальных гладких поверхностях, примыкающих к блокам. Чтобы удерживать цепочку неподвижной, нужно к ее концам прикладывать силы. Возле блоков висящая часть цепочки натянута, очевидно, с точно такими же силами, как и в нашей задаче. Медленно "стравим" с одной из плоскостей участок цепочки длиной $l$ и одновременно "вытянем" на другую поверхность такой же по длине участок. Кинетическая энергия цепочки осталась равной нулю, а внешние силы совершили работу $F_{вн}l = |F_{ \alpha} - F_{ \beta}|l$. Эта работа пошла на то, чтобы изменить потенциальную энергию цепочки в поле тяжести Земли на $\frac{Ml}{L} gh$.
С учетом того, что $\alpha > \beta$, получим
$\frac{Mgh}{L} = F_{ \alpha} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha }{ \cos \beta } \right )$.
Отсюда найдем разность уровней $h$ для самого верхнего и самого нижнего звеньев цепочки:
$h = \frac{F_{ \alpha}L }{Mg} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha }{ \cos \beta } \right ) = L \frac{ \cos \beta - \cos \alpha }{ \sin ( \alpha + \beta ) }$.
Концы однородной цепочки длиной $L$ и массой $M$ закреплены, и цепочка, состоящая из множества звеньев, свободно висит в воздухе. Касательные к цепочке в местах крепления концов составляют с горизонтом углы $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha > \beta$). Каково натяжение цепочки в самой нижней ее точке? Какова разность уровней (по вертикали) точек, в которых находятся самое верхнее и самое нижнее звенья цепочки?
Решение:
Цепочка висит неподвижно, поэтому сумма действующих на цепочку сил равна нулю. Обозначим силы, приложенные к концам цепочки, через $F_{ \alpha}$ и $F_{ \beta}$. Из условий статики следует, что
$F_{ \alpha} \cos \alpha = F_{ \beta} \cos \beta$,
$F_{ \alpha} \sin \alpha + F_{ \beta} \sin \beta = Mg$.
Отсюда можно найти величины этих сил:
$F_{ \alpha} = \frac{Mg \cos \beta}{ \sin ( \alpha + \beta ) }$,
$F_{ \beta} = \frac{Mg \cos \alpha}{ \sin ( \alpha + \beta )}$.
В самой нижней точке цепочка натянута с силой
$F_{н} = F_{ \alpha} \cos \alpha = F_{ \beta} \cos \beta = \frac{Mg}{tg \alpha + tg \beta }$.
Если звенья цепочки находятся на разных по вертикали уровнях и разница уровней равна $h$, то разность сил натяжения цепочки равна $\frac{Mgh}{L}$. Это легко доказать. Например, так. Предположим, что такая же цепочка, т.е. с таким же отношением $\frac{M}{L}$, перекинута через два маленьких блока, которые расположены так же, как и места крепления нашей цепочки, цепочка длинная и свободные ее участки лежат на горизонтальных гладких поверхностях, примыкающих к блокам. Чтобы удерживать цепочку неподвижной, нужно к ее концам прикладывать силы. Возле блоков висящая часть цепочки натянута, очевидно, с точно такими же силами, как и в нашей задаче. Медленно "стравим" с одной из плоскостей участок цепочки длиной $l$ и одновременно "вытянем" на другую поверхность такой же по длине участок. Кинетическая энергия цепочки осталась равной нулю, а внешние силы совершили работу $F_{вн}l = |F_{ \alpha} - F_{ \beta}|l$. Эта работа пошла на то, чтобы изменить потенциальную энергию цепочки в поле тяжести Земли на $\frac{Ml}{L} gh$.
С учетом того, что $\alpha > \beta$, получим
$\frac{Mgh}{L} = F_{ \alpha} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha }{ \cos \beta } \right )$.
Отсюда найдем разность уровней $h$ для самого верхнего и самого нижнего звеньев цепочки:
$h = \frac{F_{ \alpha}L }{Mg} \left ( 1 - \frac{ \cos \alpha }{ \cos \beta } \right ) = L \frac{ \cos \beta - \cos \alpha }{ \sin ( \alpha + \beta ) }$.
