Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13551
2020-02-29 
К одному концу очень длинного соленоида, тонкий провод которого намотан в один слой виток к витку на диэлектрический немагнитный сердечник, подключен один вывод идеальной батареи с ЭДС $\mathcal{E}$. Второй вывод этой батареи через идеальный амперметр, разомкнутый ключ и проводящую длинную шину, проложенную параллельно оси соленоида, подключен к проводящему кольцу (см. рисунок), которое, перемещаясь поступательно вдоль оси соленоида, всегда касается его провода только в одной точке (точка, естественно, все время меняет свое положение). Контакт есть всегда, так как внутренний диаметр кольца совпадает с внешними диаметрами витков соленоида. Сопротивление соленоида, шины и кольца равно нулю. Площадь сечения соленоида $S$, число витков на единицу длины $n$, скорость движения контактного кольца вдоль оси соленоида $v$. Ключ замкнули в тот момент, когда кольцо касалось провода в точке, от которой до начала соленоида $N_{0}$ витков. Известно, что $\frac{N_{0}}{n} \gg \sqrt{S}$. Как будет меняться ток в соленоиде со временем? Каким будет установившееся значение этого тока?
Решение:
Индуктивность длинного соленоида с числом витков $N$, не имеющего ферромагнитного сердечника, равна
$L = \mu_{0}nNS$,
где $\mu_{0}$ - магнитная постоянная. Так как кольцо перемещается, число "задействованных" витков увеличивается, и индуктивность со временем растет по закону
$L = \mu_{0}nS (N_{0} + nvt)$.
Если в соленоиде течет ток $i$, то магнитный поток, пересекающий все задействованные витки, равен $\Phi = Li$. Поскольку сопротивление всех участков цепи равно нулю, сумма всех действующих в замкнутой цепи ЭДС тоже равна нулю. В рассматриваемом случае это ЭДС $\mathcal{E}$ батареи и ЭДС $\mathcal{E}_{инд}$ электромагнитной индукции, которая по закону Фарадея (с учетом правила Ленца) равна
$\mathcal{E}_{инд} = - \frac{d \Phi}{dt}$.
Условие равенства нулю суммы всех ЭДС имеет вид
$\mathcal{E} - \frac{d \Phi}{dt} = \mathcal{E} - \frac{d(Li)}{dt} = 0$.
Следовательно, магнитный поток $Li$ растет пропорционально времени:
$Li = kt$,
где $k$ - постоянный коэффициент. Отсюда находим зависимость тока от времени:
$i(t) = \frac{kt}{ \mu_{0}nS (N_{0} + nvt ) }$.
Установившееся значение этого тока через большое время после начала эксперимента будет равно
$i_{ \infty} = \frac{k}{ \mu_{0}n^{2}Sv }$.
К одному концу очень длинного соленоида, тонкий провод которого намотан в один слой виток к витку на диэлектрический немагнитный сердечник, подключен один вывод идеальной батареи с ЭДС $\mathcal{E}$. Второй вывод этой батареи через идеальный амперметр, разомкнутый ключ и проводящую длинную шину, проложенную параллельно оси соленоида, подключен к проводящему кольцу (см. рисунок), которое, перемещаясь поступательно вдоль оси соленоида, всегда касается его провода только в одной точке (точка, естественно, все время меняет свое положение). Контакт есть всегда, так как внутренний диаметр кольца совпадает с внешними диаметрами витков соленоида. Сопротивление соленоида, шины и кольца равно нулю. Площадь сечения соленоида $S$, число витков на единицу длины $n$, скорость движения контактного кольца вдоль оси соленоида $v$. Ключ замкнули в тот момент, когда кольцо касалось провода в точке, от которой до начала соленоида $N_{0}$ витков. Известно, что $\frac{N_{0}}{n} \gg \sqrt{S}$. Как будет меняться ток в соленоиде со временем? Каким будет установившееся значение этого тока?
Решение:
Индуктивность длинного соленоида с числом витков $N$, не имеющего ферромагнитного сердечника, равна
$L = \mu_{0}nNS$,
где $\mu_{0}$ - магнитная постоянная. Так как кольцо перемещается, число "задействованных" витков увеличивается, и индуктивность со временем растет по закону
$L = \mu_{0}nS (N_{0} + nvt)$.
Если в соленоиде течет ток $i$, то магнитный поток, пересекающий все задействованные витки, равен $\Phi = Li$. Поскольку сопротивление всех участков цепи равно нулю, сумма всех действующих в замкнутой цепи ЭДС тоже равна нулю. В рассматриваемом случае это ЭДС $\mathcal{E}$ батареи и ЭДС $\mathcal{E}_{инд}$ электромагнитной индукции, которая по закону Фарадея (с учетом правила Ленца) равна
$\mathcal{E}_{инд} = - \frac{d \Phi}{dt}$.
Условие равенства нулю суммы всех ЭДС имеет вид
$\mathcal{E} - \frac{d \Phi}{dt} = \mathcal{E} - \frac{d(Li)}{dt} = 0$.
Следовательно, магнитный поток $Li$ растет пропорционально времени:
$Li = kt$,
где $k$ - постоянный коэффициент. Отсюда находим зависимость тока от времени:
$i(t) = \frac{kt}{ \mu_{0}nS (N_{0} + nvt ) }$.
Установившееся значение этого тока через большое время после начала эксперимента будет равно
$i_{ \infty} = \frac{k}{ \mu_{0}n^{2}Sv }$.
