Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1355
2016-10-21 
Природный уран состоит на $n_{1} = 0,7%$ из изотопа $U^{235}$ и на $n_{2} = 99,3%$ — из $U^{238}$. По современным представлениям, все элементы тяжелее железа образовались при взрывах сверхновых звёзд, а после этого из получившихся газопылевых облаков возникли звёзды следующего «поколения», в частности, Солнце и планеты Солнечной системы. По-видимому, в этих выбросах всех изотопов урана было примерно поровну. Оцените, сколько лет назад произошёл тот выброс вещества, из которого сформировалась наша Земля. Период полураспада, то есть время, в течение которого число атомов данного изотопа уменьшается в 2 раза, для $U^{235}$ равно $T_{1} = 7 \cdot 10^{8}$ лет, а для $U^{238} - T_{2} = 4,5 \cdot 10^{9}$ лет.
Решение:
Обозначим количество атомов каждого изотопа непосредственно после взрыва сверхновой через $N_{0}$. Тогда через время $T_{1}$ после взрыва количество атомов $U^{235}$ стало равно $N_{0}/2$, через время $2T_{1}$ — стало равно $N_{0}/2^{2}$, и так далее. Очевидно, что через время $t = nT_{1}$ после взрыва, равное $n$ периодам полураспада $U^{235}$, количество атомов этого изотопа стало равно $N_{1} = N_{0}/2^{n}$. Аналогично, за то же самое время $t = kT_{2}$, равное $k$ периодам полураспада $U^{238}$, количество атомов данного изотопа стало равно $N_{2} = N_{0}/2^{k}$. По условию задачи,
$n_{1} = \frac{N_{1}}{N_{1}+N_{2}}, n_{2} = \frac{N_{2}}{N_{1}+N_{2}}$.
Отсюда
$\frac{n_{2}}{n_{1}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{2^{n}}{2^{k}} = 2^{n-k}$.
Учитывая, что $t = nT_{1} = kT_{2}$, получаем систему из двух уравнений относительно неизвестных $n$ и $k$. Решая её, найдём, например, $k$:
$k= \frac{lg(n_{2}/n_{1})}{lg 2} \cdot \frac{T_{1}}{T_{2}-T_{1}}$.
Значит, искомое время $t$ равно
$t = kT_{2} = \frac{lg(n_{2}/n_{1})}{lg2} \cdot \frac{T_{1}T_{2}}{T_{2}-T_{1}} \approx 6 \cdot 10^{9} лет$.
Этот результат хорошо согласуется с возрастом Солнечной системы (~ 5 млрд лет) и с возрастом Земли (~ 4 млрд лет), определёнными другими способами.
Природный уран состоит на $n_{1} = 0,7%$ из изотопа $U^{235}$ и на $n_{2} = 99,3%$ — из $U^{238}$. По современным представлениям, все элементы тяжелее железа образовались при взрывах сверхновых звёзд, а после этого из получившихся газопылевых облаков возникли звёзды следующего «поколения», в частности, Солнце и планеты Солнечной системы. По-видимому, в этих выбросах всех изотопов урана было примерно поровну. Оцените, сколько лет назад произошёл тот выброс вещества, из которого сформировалась наша Земля. Период полураспада, то есть время, в течение которого число атомов данного изотопа уменьшается в 2 раза, для $U^{235}$ равно $T_{1} = 7 \cdot 10^{8}$ лет, а для $U^{238} - T_{2} = 4,5 \cdot 10^{9}$ лет.
Решение:
Обозначим количество атомов каждого изотопа непосредственно после взрыва сверхновой через $N_{0}$. Тогда через время $T_{1}$ после взрыва количество атомов $U^{235}$ стало равно $N_{0}/2$, через время $2T_{1}$ — стало равно $N_{0}/2^{2}$, и так далее. Очевидно, что через время $t = nT_{1}$ после взрыва, равное $n$ периодам полураспада $U^{235}$, количество атомов этого изотопа стало равно $N_{1} = N_{0}/2^{n}$. Аналогично, за то же самое время $t = kT_{2}$, равное $k$ периодам полураспада $U^{238}$, количество атомов данного изотопа стало равно $N_{2} = N_{0}/2^{k}$. По условию задачи,
$n_{1} = \frac{N_{1}}{N_{1}+N_{2}}, n_{2} = \frac{N_{2}}{N_{1}+N_{2}}$.
Отсюда
$\frac{n_{2}}{n_{1}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} = \frac{2^{n}}{2^{k}} = 2^{n-k}$.
Учитывая, что $t = nT_{1} = kT_{2}$, получаем систему из двух уравнений относительно неизвестных $n$ и $k$. Решая её, найдём, например, $k$:
$k= \frac{lg(n_{2}/n_{1})}{lg 2} \cdot \frac{T_{1}}{T_{2}-T_{1}}$.
Значит, искомое время $t$ равно
$t = kT_{2} = \frac{lg(n_{2}/n_{1})}{lg2} \cdot \frac{T_{1}T_{2}}{T_{2}-T_{1}} \approx 6 \cdot 10^{9} лет$.
Этот результат хорошо согласуется с возрастом Солнечной системы (~ 5 млрд лет) и с возрастом Земли (~ 4 млрд лет), определёнными другими способами.
