Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13547
2020-02-29 
Стальная проволока с линейным распределением массы $\lambda = 0,1 кг/м$ натянута между двумя одинаковыми высотными домами, расстояние между которыми $L = 100 м$. Концы проволоки жестко закреплены. При температуре $0^{ \circ} С$ и отсутствии ветра "провис" проволоки (разность уровня крепления концов проволоки и уровня самой нижней точки провода между домами) равен $H = 0,5 м \ll L$.
1) С какой силой натянута проволока?
2) Какой будет длина этой проволоки, если ее при той же температуре уложить без натяжения на горизонтальную поверхность? Модуль Юнга стали $E = 10^{11} Па$.
3) Как связаны друг с другом "провис" проволоки, расстояние между точками крепления ее концов и длина проволоки в нерастянутом состоянии?
4) На сколько отличаются силы натяжения этой проволоки летом при температуре $+30^{ \circ} С$ и зимой при температуре $-20^{ \circ} С$? Коэффициент теплового расширения стали, из которой сделана проволока, $\alpha = 10^{-5} К^{-1}$.
5) Выдержит ли проволока натяжение, если зимой при температуре $0^{ \circ} С$ на ней образуется наледь с линейным распределением массы $\lambda_{1} = 0,9 кг/м$? Прочность стали $\sigma_{max} = 10^{9} Па$.
Решение:
1) Поскольку величина "провиса" значительно меньше расстояния между местами крепления концов проволоки, то можно считать, что линейная плотность проволоки примерно совпадает с линейной плотностью вдоль горизонтального направления, а сила натяжения $F$ примерно одинакова во всех местах проволоки. Если расстояние по горизонтали от нижней точки проволоки до какого-то ее участка равно $x$ и длина такого участка равна $\Delta x$, то разность вертикальных сил натяжения $\Delta F_{y}$ проволоки на концах этого участка равна
$g \lambda \Delta x = F \left ( \left . \frac{ \Delta y}{ \Delta x} \right |_{x + \Delta x} - \left . \frac{ \Delta y}{ \Delta x} \right |_{x} \right )$.
Разделим правую и левую части этого равенства на $\Delta x$ и получим
$\frac{ \Delta^{2} y}{ \Delta x^{2} } = \frac{g \lambda}{F}$.
Значит, в принятом приближении форма проволоки -это парабола, описываемая уравнением
$y = x^{2} \frac{g \lambda }{2F} = x^{2} \frac{Mg}{2FL}$,
где $M$ - масса проволоки. Если подставить $x = \frac{L}{2}$, то получится как раз величина "провиса" проволоки $H$:
$\left ( \frac{L}{2} \right )^{2} \frac{Mg}{2FL} = H$.
Отсюда находим величину силы натяжения проволоки:
$F = \frac{MgL}{8H} = 2,5 кН$.
2) Найдем связь между величиной "провиса" и длиной самой проволоки в ненапряженном состоянии, т.е. найдем длину параболы. Длина $\Delta l$ небольшого участка проволоки, который имеет по горизонтали размер $\Delta x$, равна
$\Delta l = \Delta x \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \Delta y}{ \Delta x} \right )^{2} }$.
Поскольку наклон проволоки по отношению к горизонту весьма мал, можно воспользоваться малостью второго слагаемого в подкоренном выражении по сравнению с единицей. Тогда получим
$\Delta l = \Delta x \left ( 1 + \frac{ \left ( \frac{ \Delta y}{ \Delta x} \right )^{2} }{2} \right )$.
Подставим в это выражение значение производной $\frac{ \Delta y}{ \Delta x} = x \frac{Mg}{Fl}$ и найдем
$\Delta l = \Delta x \left ( 1 + x^{2} \frac{(Mg)^{2} }{2(Fl)^{2} } \right )$.
Можно теперь вычислить длину растянутой проволоки:
$L_{раст} = 2 \left ( \frac{L}{2} + \left ( \frac{L}{2} \right )^{3} \frac{(Mg)^{2} }{6(FL)^{2} } \right ) = L \left ( 1 + \frac{1}{24} \frac{(Mg)^{2} }{F^{2} } \right ) = L \left ( 1 + \frac{8}{3} \frac{H^{2} }{L^{2} } \right ) \approx 100,007 м$.
Как видно, вторым слагаемым в скобках можно пренебречь в сравнении с первым, т.е. $L_{раст} \approx L$.
Плотность стали известна: $\rho = 7800 кг/м^{3}$. Поэтому можно найти поперечное сечение проволоки: $S = \frac{ \lambda}{ \rho } \approx 13 мм^{2}$. Проволока растянута с "отрицательным" давлением $\frac{F}{S} = 0,192 \cdot 10^{9} Па$, т.е. предел прочности стали еще не достигнут. Относительное удлинение проволоки при таком натяжении равно
$\frac{F}{ES} = \frac{ \rho gL^{2} }{8HE} \approx 2 \cdot 10^{-3}$.
Таким образом, длина нерастянутой проволоки при температуре $0^{ \circ} С$ равна
$L_{1} = \frac{L}{1 + \frac{ \rho gL^{2} }{8HE} } \approx 99,80 м$.
3) Связь между длиной нерастянутой поволоки $L_{1}$, расстоянием между домами $L$ и "провисом" $H$ такова:
$H = \frac{ \rho mL^{2}}{8E} \frac{L_{1} }{L - L_{1} } \approx \frac{ \rho gL^{3} }{8E(L - L_{1} ) }$.
4) Летом проволока удлинится примерно на $\Delta L = \alpha L \Delta T_{л} = 3 см$, поэтому "провис" проволоки будет больше, и натяжение проволоки уменьшится. Зимой ее длина сократится примерно на 2 см, "провис" станет меньше, и проволока будет натянута с большей силой. Итак,
$F_{л} = 2125 Н, F_{з} = 2750 H , \Delta F_{з-л} = 625 H$.
5) Воспользуемся ответами на вопросы 3 и 4. При $0^{ \circ} С$ и отсутствии наледи длина нерастянутой проволоки равна $L_{1} \approx 99,8 м$. В полученной формуле для "провиса" присутствует плотность материала проволоки. Если на проволоке образовалась наледь, то это можно учесть, просто увеличив плотность проволоки в
$N = \frac{ \lambda + \lambda_{1} }{ \lambda} = \frac{0,1 + 0,9}{0,1} = 10$
раз. Длина растянутой проволоки изменится, и величина провиса определится из соотношения
$H = \frac{ \frac{N \rho gL^{3}}{8E}}{ \frac{8H^{2} }{3L} + L - l_{1} }$.
Это кубическое уравнение относительно $H$:
$H^{3} + H \frac{3L(L - L_{1})}{8} = \frac{3N \rho gL^{4}}{64E}$.
Подставим числовые значения:
$H^{3} + 7,5H = 36,56$.
Подбор корня такого уравнения не представляет большой трудности:
$H = 2,58 м$.
Сила натяжения троса рассчитывается так же, как в первом пункте:
$F = \frac{NMgL}{8H} \approx 4845 Н$.
Такая сила соответствует напряжению растяжения проволоки
$\sigma = \frac{F}{S} \approx 0,373 \cdot 10^{9} Па$.
Это напряжение не превышает предела прочности стали - проволока останется целой!
Стальная проволока с линейным распределением массы $\lambda = 0,1 кг/м$ натянута между двумя одинаковыми высотными домами, расстояние между которыми $L = 100 м$. Концы проволоки жестко закреплены. При температуре $0^{ \circ} С$ и отсутствии ветра "провис" проволоки (разность уровня крепления концов проволоки и уровня самой нижней точки провода между домами) равен $H = 0,5 м \ll L$.
1) С какой силой натянута проволока?
2) Какой будет длина этой проволоки, если ее при той же температуре уложить без натяжения на горизонтальную поверхность? Модуль Юнга стали $E = 10^{11} Па$.
3) Как связаны друг с другом "провис" проволоки, расстояние между точками крепления ее концов и длина проволоки в нерастянутом состоянии?
4) На сколько отличаются силы натяжения этой проволоки летом при температуре $+30^{ \circ} С$ и зимой при температуре $-20^{ \circ} С$? Коэффициент теплового расширения стали, из которой сделана проволока, $\alpha = 10^{-5} К^{-1}$.
5) Выдержит ли проволока натяжение, если зимой при температуре $0^{ \circ} С$ на ней образуется наледь с линейным распределением массы $\lambda_{1} = 0,9 кг/м$? Прочность стали $\sigma_{max} = 10^{9} Па$.
Решение:
1) Поскольку величина "провиса" значительно меньше расстояния между местами крепления концов проволоки, то можно считать, что линейная плотность проволоки примерно совпадает с линейной плотностью вдоль горизонтального направления, а сила натяжения $F$ примерно одинакова во всех местах проволоки. Если расстояние по горизонтали от нижней точки проволоки до какого-то ее участка равно $x$ и длина такого участка равна $\Delta x$, то разность вертикальных сил натяжения $\Delta F_{y}$ проволоки на концах этого участка равна
$g \lambda \Delta x = F \left ( \left . \frac{ \Delta y}{ \Delta x} \right |_{x + \Delta x} - \left . \frac{ \Delta y}{ \Delta x} \right |_{x} \right )$.
Разделим правую и левую части этого равенства на $\Delta x$ и получим
$\frac{ \Delta^{2} y}{ \Delta x^{2} } = \frac{g \lambda}{F}$.
Значит, в принятом приближении форма проволоки -это парабола, описываемая уравнением
$y = x^{2} \frac{g \lambda }{2F} = x^{2} \frac{Mg}{2FL}$,
где $M$ - масса проволоки. Если подставить $x = \frac{L}{2}$, то получится как раз величина "провиса" проволоки $H$:
$\left ( \frac{L}{2} \right )^{2} \frac{Mg}{2FL} = H$.
Отсюда находим величину силы натяжения проволоки:
$F = \frac{MgL}{8H} = 2,5 кН$.
2) Найдем связь между величиной "провиса" и длиной самой проволоки в ненапряженном состоянии, т.е. найдем длину параболы. Длина $\Delta l$ небольшого участка проволоки, который имеет по горизонтали размер $\Delta x$, равна
$\Delta l = \Delta x \sqrt{ 1 + \left ( \frac{ \Delta y}{ \Delta x} \right )^{2} }$.
Поскольку наклон проволоки по отношению к горизонту весьма мал, можно воспользоваться малостью второго слагаемого в подкоренном выражении по сравнению с единицей. Тогда получим
$\Delta l = \Delta x \left ( 1 + \frac{ \left ( \frac{ \Delta y}{ \Delta x} \right )^{2} }{2} \right )$.
Подставим в это выражение значение производной $\frac{ \Delta y}{ \Delta x} = x \frac{Mg}{Fl}$ и найдем
$\Delta l = \Delta x \left ( 1 + x^{2} \frac{(Mg)^{2} }{2(Fl)^{2} } \right )$.
Можно теперь вычислить длину растянутой проволоки:
$L_{раст} = 2 \left ( \frac{L}{2} + \left ( \frac{L}{2} \right )^{3} \frac{(Mg)^{2} }{6(FL)^{2} } \right ) = L \left ( 1 + \frac{1}{24} \frac{(Mg)^{2} }{F^{2} } \right ) = L \left ( 1 + \frac{8}{3} \frac{H^{2} }{L^{2} } \right ) \approx 100,007 м$.
Как видно, вторым слагаемым в скобках можно пренебречь в сравнении с первым, т.е. $L_{раст} \approx L$.
Плотность стали известна: $\rho = 7800 кг/м^{3}$. Поэтому можно найти поперечное сечение проволоки: $S = \frac{ \lambda}{ \rho } \approx 13 мм^{2}$. Проволока растянута с "отрицательным" давлением $\frac{F}{S} = 0,192 \cdot 10^{9} Па$, т.е. предел прочности стали еще не достигнут. Относительное удлинение проволоки при таком натяжении равно
$\frac{F}{ES} = \frac{ \rho gL^{2} }{8HE} \approx 2 \cdot 10^{-3}$.
Таким образом, длина нерастянутой проволоки при температуре $0^{ \circ} С$ равна
$L_{1} = \frac{L}{1 + \frac{ \rho gL^{2} }{8HE} } \approx 99,80 м$.
3) Связь между длиной нерастянутой поволоки $L_{1}$, расстоянием между домами $L$ и "провисом" $H$ такова:
$H = \frac{ \rho mL^{2}}{8E} \frac{L_{1} }{L - L_{1} } \approx \frac{ \rho gL^{3} }{8E(L - L_{1} ) }$.
4) Летом проволока удлинится примерно на $\Delta L = \alpha L \Delta T_{л} = 3 см$, поэтому "провис" проволоки будет больше, и натяжение проволоки уменьшится. Зимой ее длина сократится примерно на 2 см, "провис" станет меньше, и проволока будет натянута с большей силой. Итак,
$F_{л} = 2125 Н, F_{з} = 2750 H , \Delta F_{з-л} = 625 H$.
5) Воспользуемся ответами на вопросы 3 и 4. При $0^{ \circ} С$ и отсутствии наледи длина нерастянутой проволоки равна $L_{1} \approx 99,8 м$. В полученной формуле для "провиса" присутствует плотность материала проволоки. Если на проволоке образовалась наледь, то это можно учесть, просто увеличив плотность проволоки в
$N = \frac{ \lambda + \lambda_{1} }{ \lambda} = \frac{0,1 + 0,9}{0,1} = 10$
раз. Длина растянутой проволоки изменится, и величина провиса определится из соотношения
$H = \frac{ \frac{N \rho gL^{3}}{8E}}{ \frac{8H^{2} }{3L} + L - l_{1} }$.
Это кубическое уравнение относительно $H$:
$H^{3} + H \frac{3L(L - L_{1})}{8} = \frac{3N \rho gL^{4}}{64E}$.
Подставим числовые значения:
$H^{3} + 7,5H = 36,56$.
Подбор корня такого уравнения не представляет большой трудности:
$H = 2,58 м$.
Сила натяжения троса рассчитывается так же, как в первом пункте:
$F = \frac{NMgL}{8H} \approx 4845 Н$.
Такая сила соответствует напряжению растяжения проволоки
$\sigma = \frac{F}{S} \approx 0,373 \cdot 10^{9} Па$.
Это напряжение не превышает предела прочности стали - проволока останется целой!
