Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13544
2020-02-29 
Научно-исследовательское судно провело наблюдение за волнением, вызванным упавшим в южной части Тихого океана метеоритом. При этом была получена зависимость периода колебаний волн $T$ от времени наблюдения $t$. Результаты измерений представлены в таблице (время $t = 0$ соответствует началу наблюдений в 12:00).
Волна с длиной волны $\lambda$, распространяющаяся по поверхности воды в направлении оси $x$, описывается периодической функцией с уменьшающейся амплитудой: $y(t, x) = f ( \omega t - kx)$. Эта функция периодична по времени с периодом $T = \frac{2 \pi}{ \omega}$ и периодична по координате с пространственным периодом $\lambda = \frac{2 \pi}{k}$. Фазовая скорость распространения такой волны равна $v = \frac{ \omega}{k}$. Оцените по этим данным расстояние от корабля до места падения метеорита, а также момент времени его падения.
Указания. Дисперсия волн в океане (зависимость фазовой скорости от длины волны) описывается законом $v = \sqrt{ \frac{g \lambda }{2 \pi} }$ (гравитационные волны на "глубокой" воде). Скорость распространения фронта волн с длиной волны $\lambda$ определяется групповой скоростью $u = \frac{d \omega}{dk}$. Групповая скорость $u$ может быть найдена по формуле Эйлера: $u = v - \lambda \frac{dv}{d \lambda}$.
Решение:
Учитывая, что $v = \frac{ \omega}{k}$, из закона дисперсии находим зависимость фазовой скорости от частоты:
$v = \frac{g}{ \omega}$.
Из формулы Эйлера для групповой скорости получаем
$u = v - \lambda \frac{dv}{d \lambda } = \frac{1}{2} v = \frac{g}{2 \omega }$.
Если расстояние до места падения метеорита $L$, а регистрация волн началась через время $\tau$ после падения метеорита, то время прихода групп волн с частотой $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ равно $t^{ \prime} = t + \tau$, т.е.
$\frac{L}{u} = \frac{L}{ \frac{g}{2 \omega } } = t + \tau$, или $\omega = \frac{g(t + \tau )}{2L}$.
Получается, что частота $\omega$ линейно растет со временем, причем угловой коэффициент прямой $\omega(t)$ равен $A = \frac{g}{2L}$. Построим график зависимости $\omega = \omega (t)$, соответствующий таблице.
График, приведенный на рисунке, хорошо описывается прямой $\omega(t) = At + B$ с угловым коэффициентом
$A = \frac{ \Delta \omega}{ \Delta t} = 0,06 c^{-1}/ч$.
Отсюда находим расстояние до места падения спутника на землю:
$L = \frac{g}{2 A} \approx 300 км$.
Метеорит упал за $\tau = \frac{B}{A} = 18,5 ч$ до начала наблюдений. Учитывая, что наблюдения за волнением начались в 12:00, момент падения метеорита соответствует времени 17:30 предшествующих дню наблюдения суток.
Научно-исследовательское судно провело наблюдение за волнением, вызванным упавшим в южной части Тихого океана метеоритом. При этом была получена зависимость периода колебаний волн $T$ от времени наблюдения $t$. Результаты измерений представлены в таблице (время $t = 0$ соответствует началу наблюдений в 12:00).
Волна с длиной волны $\lambda$, распространяющаяся по поверхности воды в направлении оси $x$, описывается периодической функцией с уменьшающейся амплитудой: $y(t, x) = f ( \omega t - kx)$. Эта функция периодична по времени с периодом $T = \frac{2 \pi}{ \omega}$ и периодична по координате с пространственным периодом $\lambda = \frac{2 \pi}{k}$. Фазовая скорость распространения такой волны равна $v = \frac{ \omega}{k}$. Оцените по этим данным расстояние от корабля до места падения метеорита, а также момент времени его падения.
Указания. Дисперсия волн в океане (зависимость фазовой скорости от длины волны) описывается законом $v = \sqrt{ \frac{g \lambda }{2 \pi} }$ (гравитационные волны на "глубокой" воде). Скорость распространения фронта волн с длиной волны $\lambda$ определяется групповой скоростью $u = \frac{d \omega}{dk}$. Групповая скорость $u$ может быть найдена по формуле Эйлера: $u = v - \lambda \frac{dv}{d \lambda}$.
Решение:
Учитывая, что $v = \frac{ \omega}{k}$, из закона дисперсии находим зависимость фазовой скорости от частоты:
$v = \frac{g}{ \omega}$.
Из формулы Эйлера для групповой скорости получаем
$u = v - \lambda \frac{dv}{d \lambda } = \frac{1}{2} v = \frac{g}{2 \omega }$.
Если расстояние до места падения метеорита $L$, а регистрация волн началась через время $\tau$ после падения метеорита, то время прихода групп волн с частотой $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ равно $t^{ \prime} = t + \tau$, т.е.
$\frac{L}{u} = \frac{L}{ \frac{g}{2 \omega } } = t + \tau$, или $\omega = \frac{g(t + \tau )}{2L}$.
Получается, что частота $\omega$ линейно растет со временем, причем угловой коэффициент прямой $\omega(t)$ равен $A = \frac{g}{2L}$. Построим график зависимости $\omega = \omega (t)$, соответствующий таблице.
График, приведенный на рисунке, хорошо описывается прямой $\omega(t) = At + B$ с угловым коэффициентом
$A = \frac{ \Delta \omega}{ \Delta t} = 0,06 c^{-1}/ч$.
Отсюда находим расстояние до места падения спутника на землю:
$L = \frac{g}{2 A} \approx 300 км$.
Метеорит упал за $\tau = \frac{B}{A} = 18,5 ч$ до начала наблюдений. Учитывая, что наблюдения за волнением начались в 12:00, момент падения метеорита соответствует времени 17:30 предшествующих дню наблюдения суток.
