Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13542
2020-02-29 
Из капельки мыльного раствора диаметром $d = 2 мм$ с коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma = 40 мДж/м^{2}$ выдули мыльный пузырь диаметром $D = 8 см$. Найдите величину электрического заряда, который нужно сообщить пузырю, чтобы он начал всплывать в воздухе. Оцените разумность полученного результата вычислений. Плотность воздуха $\rho = 1,2 кг/ м^{3}$.
Решение:
Начальный объем пузыря равен
$V_{0} = \frac{ \pi D^{3}}{6} = 2,7 \cdot 10^{-4} м^{3}$.
Давление внутри пузыря отличается от внешнего атмосферного давления на
$\Delta p = 2 \frac{2 \sigma }{ \frac{D}{2} } = 4 Па$.
Эта величина значительно меньше атмосферного давления $p_{0} = 10 Па$. Количество воздуха внутри пузыря фиксировано. Чтобы пузырь начал всплывать в воздухе, его средняя плотность должна стать меньше плотности воздуха. Для этого нужно, чтобы объем пузыря увеличился на
$\Delta V = \frac{ \rho_{0} \left ( \frac{ \pi d^{3} }{6} \right ) }{ \rho} = 3,5 \cdot 10^{-6} м^{3} \ll V_{0}$.
Здесь $\rho_{0}$ - это плотность мыльного раствора, которая, естественно, мало отличается от плотности воды, равной $10^{3} кг/м^{3}$. Изменение объема мало, поэтому размеры пузыря изменились мало. Считаем, что температура воздуха в пузыре такая же, как и снаружи, и после зарядки пузыря не меняется. Давление воздуха внутри пузыря уменьшилось на
$\Delta p = p_{0} \left (1 - \frac{V_{0}}{V_{0} + \Delta V} \right ) \approx p_{0} \frac{ \Delta V}{V_{0} } = 1290 Па$.
Такое же по величине давление, только с отрицательным знаком, должно быть создано электрическим полем, которое появится вблизи поверхности шарика после его зарядки. Напряженность этого поля будет равна
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{ \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} }$.
Давление электрического поля равно объемной плотности энергии электрического поля:
$p_{эл} = \frac{ \epsilon_{0}E^{2} }{2} = \frac{Q^{2} }{2 \pi^{2} \epsilon_{0}D^{4} }$.
Из равенства $\Delta p = p_{эл}$ получается величина электрического заряда:
$Q \approx 3 \cdot 10^{-6} Кл$.
Для проверки полученного ответа на "разумность" вычислим, какой толщины получится стенка мыльного пузыря, и оценим величину напряженности электрического поля, созданного вычисленным зарядом вблизи поверхности шарика. Толщина пленки равна
$\frac{d^{3}}{6D^{2} } = 2 \cdot 10^{-7} м$.
Это примерно $10^{3}$ характерных размеров молекулы воды. Величина вполне разумная. Напряженность электрического поля равна
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{ \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} } = 1,7 \cdot 10^{7} В/м$.
Известно, что сухой воздух пробивается при напряженности электрического поля, равной примерно $3 \cdot 10^{6} В/м$. Следовательно, полученный результат для электрического заряда нельзя считать "разумным". Таким образом, задуманный эксперимент с полетом мыльного пузыря не получится.
Из капельки мыльного раствора диаметром $d = 2 мм$ с коэффициентом поверхностного натяжения $\sigma = 40 мДж/м^{2}$ выдули мыльный пузырь диаметром $D = 8 см$. Найдите величину электрического заряда, который нужно сообщить пузырю, чтобы он начал всплывать в воздухе. Оцените разумность полученного результата вычислений. Плотность воздуха $\rho = 1,2 кг/ м^{3}$.
Решение:
Начальный объем пузыря равен
$V_{0} = \frac{ \pi D^{3}}{6} = 2,7 \cdot 10^{-4} м^{3}$.
Давление внутри пузыря отличается от внешнего атмосферного давления на
$\Delta p = 2 \frac{2 \sigma }{ \frac{D}{2} } = 4 Па$.
Эта величина значительно меньше атмосферного давления $p_{0} = 10 Па$. Количество воздуха внутри пузыря фиксировано. Чтобы пузырь начал всплывать в воздухе, его средняя плотность должна стать меньше плотности воздуха. Для этого нужно, чтобы объем пузыря увеличился на
$\Delta V = \frac{ \rho_{0} \left ( \frac{ \pi d^{3} }{6} \right ) }{ \rho} = 3,5 \cdot 10^{-6} м^{3} \ll V_{0}$.
Здесь $\rho_{0}$ - это плотность мыльного раствора, которая, естественно, мало отличается от плотности воды, равной $10^{3} кг/м^{3}$. Изменение объема мало, поэтому размеры пузыря изменились мало. Считаем, что температура воздуха в пузыре такая же, как и снаружи, и после зарядки пузыря не меняется. Давление воздуха внутри пузыря уменьшилось на
$\Delta p = p_{0} \left (1 - \frac{V_{0}}{V_{0} + \Delta V} \right ) \approx p_{0} \frac{ \Delta V}{V_{0} } = 1290 Па$.
Такое же по величине давление, только с отрицательным знаком, должно быть создано электрическим полем, которое появится вблизи поверхности шарика после его зарядки. Напряженность этого поля будет равна
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{ \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} }$.
Давление электрического поля равно объемной плотности энергии электрического поля:
$p_{эл} = \frac{ \epsilon_{0}E^{2} }{2} = \frac{Q^{2} }{2 \pi^{2} \epsilon_{0}D^{4} }$.
Из равенства $\Delta p = p_{эл}$ получается величина электрического заряда:
$Q \approx 3 \cdot 10^{-6} Кл$.
Для проверки полученного ответа на "разумность" вычислим, какой толщины получится стенка мыльного пузыря, и оценим величину напряженности электрического поля, созданного вычисленным зарядом вблизи поверхности шарика. Толщина пленки равна
$\frac{d^{3}}{6D^{2} } = 2 \cdot 10^{-7} м$.
Это примерно $10^{3}$ характерных размеров молекулы воды. Величина вполне разумная. Напряженность электрического поля равна
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{ \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} } = 1,7 \cdot 10^{7} В/м$.
Известно, что сухой воздух пробивается при напряженности электрического поля, равной примерно $3 \cdot 10^{6} В/м$. Следовательно, полученный результат для электрического заряда нельзя считать "разумным". Таким образом, задуманный эксперимент с полетом мыльного пузыря не получится.
