Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13541
2020-02-29 
В огромной длинной горизонтальной трубе квадратного сечения, которая разбита на три "камеры" двумя толстыми поршнями, есть центральная камера и две боковые, достаточно длинные (см. рисунок). Две стенки трубы вертикальны и две стенки горизонтальны. Стенки и поршни тепло не проводят. Центральная камера почти доверху заполнена водой, а над водой находится воздух при атмосферном давлении. Давление в левой и правой камерах все время атмосферное. Трения между поршнями и стенками трубы нет. В начальный момент поршни и вода неподвижны, расстояние между поршнями равно 40 м.
Поршни отпускают, и в течение некоторого времени система переходит в новое положение равновесия. Считая, что температура в начале и в конце одинакова и равна $81^{ \circ} С$, вычислите высоту уровня воды в конечном состоянии (в положении равновесия системы). На какое расстояние сместятся поршни? Сколько воды испарится? Какое количество теплоты нужно будет подвести в центральную камеру, чтобы температура в ней не изменилась? Высота трубы равна 40 м. Удельная теплота испарения воды $2,3 МДж/кг$.
Решение:
Масса всей воды в центральной камере равна
$m_{в} = \rho V = 10^{3} кг/м^{3} \cdot 40^{3} м^{3} = 6,4 \cdot 10^{7} кг$.
Обозначим атмосферное давление $p_{0}$, высоту трубы $H$, высоту уровня воды в начальном состоянии (которая чуть меньше $H$) $h_{0}$. Так как давление жидкости с глубиной растет линейно, то эффективное давление для подсчета силы действия на поршень со стороны воды в конце процесса равно $p + \frac{ \rho gh}{2}$, где $p$ - конечное давление над водой в центральной камере, а $h$ - искомая высота. Запишем условие равновесия правого поршня (для левого оно такое же):
$p(H - h) + \left ( p + \frac{ \rho gh }{2} \right ) h = p_{0}H$.
После преобразования получим
$pH + \frac{ \rho gh^{2}}{2} = p_{0}H$.
Поскольку температура в центральной камере остается постоянной и равной $81^{ \circ} C$, а при этой температуре давление насыщенных паров воды равно половине нормального атмосферного давления, то давление воздуха над водой будет представлять собой сумму давления насыщенного пара и давления воздуха, объем которого увеличился. В условии было отмечено, что воздуха над водой было мало, поэтому вкладом воздуха в конечное давление можно пренебречь. Следовательно, $P = \frac{p_{0}}{2}$, и
$\frac{ \rho gh^{2}}{2} = \frac{p_{0}H}{2}$.
Отсюда находим высоту уровня воды в центральной камере:
$h = 20 м$.
Получается, что средняя камера будет только наполовину заполнена водой, а над ней будет насыщенный водяной пар. Плотность водяного пара во много раз меньше плотности жидкой воды, поэтому объем жидкости изменится мало. Поскольку сечение трубы - квадрат, уровень воды уменьшился в два раза, а объем воды изменился мало, то это означает, что расстояние между поршнями увеличилось в два раза - с 40 до 80 м. Следовательно, каждый поршень сместился от своего начального положения на
$l = 20 м$.
Далее. Объем водяного пара в центральной камере стал равным
$V_{п} = 20 \cdot 40 \cdot 80 м^{3} = 6,4 \cdot 10^{4} м^{3}$.
Массу насыщенного водяного пара при $81^{ \circ} C$ в этом объеме найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:
$\frac{p_{0} }{2} V_{п} = \frac{m_{п}}{M} RT$, и $m_{п} = 2 \cdot 10^{4} кг$.
Эта масса во много раз меньше всей массы воды в центральной камере.
Теперь о теплоте. Центр масс воды опустился на $\Delta H = 10 м$ вниз, следовательно, сила тяжести совершила работу
$m_{в}g \Delta H = 6,4 \cdot 10^{9} Дж$.
Поршни передвинулись и, действуя на внешний воздух, находящийся при атмосферном давлении, совершили работу
$p_{0} \Delta V = 10^{5} Па \cdot 40^{3} м^{3} = 6,4 \cdot 10^{9} Дж$
Таким образом, вся работа силы тяжести пошла на расталкивание атмосферного воздуха. Удельная теплота испарения воды равна $L = 2,3 МДж/кг$, и для испарения $m_{п} = 2 \cdot 10^{4} кг$ воды требуется количество теплоты
$Q = Lm_{п} = 4,6 \cdot 10^{10} Дж$.
Поэтому для поддержания в средней камере неизменной температуры нужно было подвести именно такое количество теплоты.
В огромной длинной горизонтальной трубе квадратного сечения, которая разбита на три "камеры" двумя толстыми поршнями, есть центральная камера и две боковые, достаточно длинные (см. рисунок). Две стенки трубы вертикальны и две стенки горизонтальны. Стенки и поршни тепло не проводят. Центральная камера почти доверху заполнена водой, а над водой находится воздух при атмосферном давлении. Давление в левой и правой камерах все время атмосферное. Трения между поршнями и стенками трубы нет. В начальный момент поршни и вода неподвижны, расстояние между поршнями равно 40 м.
Поршни отпускают, и в течение некоторого времени система переходит в новое положение равновесия. Считая, что температура в начале и в конце одинакова и равна $81^{ \circ} С$, вычислите высоту уровня воды в конечном состоянии (в положении равновесия системы). На какое расстояние сместятся поршни? Сколько воды испарится? Какое количество теплоты нужно будет подвести в центральную камеру, чтобы температура в ней не изменилась? Высота трубы равна 40 м. Удельная теплота испарения воды $2,3 МДж/кг$.
Решение:
Масса всей воды в центральной камере равна
$m_{в} = \rho V = 10^{3} кг/м^{3} \cdot 40^{3} м^{3} = 6,4 \cdot 10^{7} кг$.
Обозначим атмосферное давление $p_{0}$, высоту трубы $H$, высоту уровня воды в начальном состоянии (которая чуть меньше $H$) $h_{0}$. Так как давление жидкости с глубиной растет линейно, то эффективное давление для подсчета силы действия на поршень со стороны воды в конце процесса равно $p + \frac{ \rho gh}{2}$, где $p$ - конечное давление над водой в центральной камере, а $h$ - искомая высота. Запишем условие равновесия правого поршня (для левого оно такое же):
$p(H - h) + \left ( p + \frac{ \rho gh }{2} \right ) h = p_{0}H$.
После преобразования получим
$pH + \frac{ \rho gh^{2}}{2} = p_{0}H$.
Поскольку температура в центральной камере остается постоянной и равной $81^{ \circ} C$, а при этой температуре давление насыщенных паров воды равно половине нормального атмосферного давления, то давление воздуха над водой будет представлять собой сумму давления насыщенного пара и давления воздуха, объем которого увеличился. В условии было отмечено, что воздуха над водой было мало, поэтому вкладом воздуха в конечное давление можно пренебречь. Следовательно, $P = \frac{p_{0}}{2}$, и
$\frac{ \rho gh^{2}}{2} = \frac{p_{0}H}{2}$.
Отсюда находим высоту уровня воды в центральной камере:
$h = 20 м$.
Получается, что средняя камера будет только наполовину заполнена водой, а над ней будет насыщенный водяной пар. Плотность водяного пара во много раз меньше плотности жидкой воды, поэтому объем жидкости изменится мало. Поскольку сечение трубы - квадрат, уровень воды уменьшился в два раза, а объем воды изменился мало, то это означает, что расстояние между поршнями увеличилось в два раза - с 40 до 80 м. Следовательно, каждый поршень сместился от своего начального положения на
$l = 20 м$.
Далее. Объем водяного пара в центральной камере стал равным
$V_{п} = 20 \cdot 40 \cdot 80 м^{3} = 6,4 \cdot 10^{4} м^{3}$.
Массу насыщенного водяного пара при $81^{ \circ} C$ в этом объеме найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:
$\frac{p_{0} }{2} V_{п} = \frac{m_{п}}{M} RT$, и $m_{п} = 2 \cdot 10^{4} кг$.
Эта масса во много раз меньше всей массы воды в центральной камере.
Теперь о теплоте. Центр масс воды опустился на $\Delta H = 10 м$ вниз, следовательно, сила тяжести совершила работу
$m_{в}g \Delta H = 6,4 \cdot 10^{9} Дж$.
Поршни передвинулись и, действуя на внешний воздух, находящийся при атмосферном давлении, совершили работу
$p_{0} \Delta V = 10^{5} Па \cdot 40^{3} м^{3} = 6,4 \cdot 10^{9} Дж$
Таким образом, вся работа силы тяжести пошла на расталкивание атмосферного воздуха. Удельная теплота испарения воды равна $L = 2,3 МДж/кг$, и для испарения $m_{п} = 2 \cdot 10^{4} кг$ воды требуется количество теплоты
$Q = Lm_{п} = 4,6 \cdot 10^{10} Дж$.
Поэтому для поддержания в средней камере неизменной температуры нужно было подвести именно такое количество теплоты.
