Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13539
2020-02-29 
Маленькая бусинка массой $m$ надета на тонкую проволоку и скользит без трения вдоль этой проволоки, замкнутой в кольцо, имеющее форму эллипса. Плоскость кольца вертикальна, длинная полуось эллипса вертикальна и имеет размер $a$, а короткая полуось эллипса горизонтальна и имеет размер $b$. Скорость движения бусинки в верхней точке кольца равна $v$. Какова по величине сила, с которой проволока действует на бусинку в точках траектории: 1) верхней; 2) нижней; 3) крайней по горизонтали?
Решение:
Введем оси координат $x$ и $y$ так, чтобы эллипс описывался уравнением
$\frac{x^{2} }{a^{2} } + \frac{y^{2} }{b^{2} } = 1$.
Очевидно, что кривизна траектории максимальна и минимальна в точках, в которых $y = 0$ и $x = 0$ соответственно. При равенстве нулю одной из координат вторая координата вблизи этой точки зависит от времени $t$ по квадратичному закону. Если, например, $y = 0$ и бусинка находится в верхней точке кольца, то $\frac{dy}{dt} = v$. В этом случае
$x = a \sqrt{ 1 - \frac{y^{2} }{b^{2} } } \approx a \left ( 1 - \frac{1}{2} \frac{y^{2} }{b^{2} } \right ) = a - \frac{av^{2} }{2b^{2} }t^{2}$.
Такая зависимость координаты от времени соответствует движению с ускорением, которое направлено вниз и равно по модулю $\frac{av^{2}}{b^{2}}$. Это ускорение обеспечивается действием на бусинку двух направленных вниз сил - силы тяжести $mg$ и силы $N_{1}$ со стороны проволоки:
$N_{1} + mg = m \frac{av^{2}}{b^{2} }$.
Отсюда находим
$N_{1} = m \left ( \frac{av^{2} }{b^{2} } - g \right )$.
В нижней точке квадрат скорости бусинки, в соответствии с законом сохранения энергии, будет другим:
$v_{2}^{2} = ( v^{2} + 4ga)$.
Поэтому направленная вверх сила со стороны бусинки будет равна
$N_{2} = m \left ( g + \frac{a(v^{2} + 4ga )}{g} \right )$.
В самой крайней по горизонтали точке квадрат скорости бусинки равен
$v_{3}^{2} = (v^{2} + 2ga)$,
ускорение бусинки в этом месте имеет вертикальную ($g$) и горизонтальную ($\frac{v_{3}^{3}}{b}$) составляющие. Горизонтальную составляющую обеспечивает сила со стороны проволоки, равная
$N_{3} = m \frac{v^{2} + 2ga }{b}$.
Маленькая бусинка массой $m$ надета на тонкую проволоку и скользит без трения вдоль этой проволоки, замкнутой в кольцо, имеющее форму эллипса. Плоскость кольца вертикальна, длинная полуось эллипса вертикальна и имеет размер $a$, а короткая полуось эллипса горизонтальна и имеет размер $b$. Скорость движения бусинки в верхней точке кольца равна $v$. Какова по величине сила, с которой проволока действует на бусинку в точках траектории: 1) верхней; 2) нижней; 3) крайней по горизонтали?
Решение:
Введем оси координат $x$ и $y$ так, чтобы эллипс описывался уравнением
$\frac{x^{2} }{a^{2} } + \frac{y^{2} }{b^{2} } = 1$.
Очевидно, что кривизна траектории максимальна и минимальна в точках, в которых $y = 0$ и $x = 0$ соответственно. При равенстве нулю одной из координат вторая координата вблизи этой точки зависит от времени $t$ по квадратичному закону. Если, например, $y = 0$ и бусинка находится в верхней точке кольца, то $\frac{dy}{dt} = v$. В этом случае
$x = a \sqrt{ 1 - \frac{y^{2} }{b^{2} } } \approx a \left ( 1 - \frac{1}{2} \frac{y^{2} }{b^{2} } \right ) = a - \frac{av^{2} }{2b^{2} }t^{2}$.
Такая зависимость координаты от времени соответствует движению с ускорением, которое направлено вниз и равно по модулю $\frac{av^{2}}{b^{2}}$. Это ускорение обеспечивается действием на бусинку двух направленных вниз сил - силы тяжести $mg$ и силы $N_{1}$ со стороны проволоки:
$N_{1} + mg = m \frac{av^{2}}{b^{2} }$.
Отсюда находим
$N_{1} = m \left ( \frac{av^{2} }{b^{2} } - g \right )$.
В нижней точке квадрат скорости бусинки, в соответствии с законом сохранения энергии, будет другим:
$v_{2}^{2} = ( v^{2} + 4ga)$.
Поэтому направленная вверх сила со стороны бусинки будет равна
$N_{2} = m \left ( g + \frac{a(v^{2} + 4ga )}{g} \right )$.
В самой крайней по горизонтали точке квадрат скорости бусинки равен
$v_{3}^{2} = (v^{2} + 2ga)$,
ускорение бусинки в этом месте имеет вертикальную ($g$) и горизонтальную ($\frac{v_{3}^{3}}{b}$) составляющие. Горизонтальную составляющую обеспечивает сила со стороны проволоки, равная
$N_{3} = m \frac{v^{2} + 2ga }{b}$.
