Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13533
2020-02-29 
Зачерненная с двух сторон золотая пластинка толщиной $d = 10 мм$ помещена в вакууме между двумя абсолютно черными плоскостями, температуры которых $T_{1} = 0^{ \circ} С$ и $T_{2} = 100^{ \circ} С$. Теплопроводность золота $\lambda = 315 Вт/(м \cdot К)$, постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} Вт \cdot м^{-2} \cdot К^{-4}$. Найдите установившиеся со временем температуры $T_{3}$ и $T_{4}$ на сторонах золотой пластинки.
Решение:
Тепловой поток на всех участках - между горячим телом и пластинкой, между пластинкой и холодным телом, а также внутри самой пластинки - в установившемся режиме одинаков. По установленному экспериментально Стефаном и обоснованному теоретически Больцманом закону излучения нагретых абсолютно черных тел, с плоской поверхности нагретого тела, имеющего абсолютную температуру $T$, излучается тепловая мощность $W$, пропорциональная площади поверхности $S$ и четвертой степени температуры $T$. Коэффициентом пропорциональности является постоянная Стефана-Больцмана $\sigma$. Таким образом,
$W = \sigma ST^{4}$.
Черное тело поглощает все падающее на его поверхность излучение и одновременно с той же поверхности излучает в соответствии с установленным законом. Температура в условии задачи дана в градусах Цельсия, ее нужно перевести в шкалу Кельвина. Итак, выполняется такая цепочка равенств:
$\sigma (273 + T_{2} )^{4} - \sigma (273 + T_{3} )^{4} = \sigma (273 + T_{4} )^{4} - \sigma (273 + T_{1} )^{4} = \frac{ \lambda (T_{3} - T_{4} ) }{d}$.
Золото очень хорошо проводит тепло, поэтому разумно предположить, что температуры $T_{3}$ и $T_{4}$ мало отличаются друг от друга. Тогда
$\sigma (273 + T_{2} )^{4} + \sigma (273 + T_{1} )^{4} \approx 2 \sigma (273 + T_{3,4} )^{4}$.
Отсюда получаем
$T_{3,4} = 61^{ \circ} С$ и $T_{3} - T_{4} \approx 12,44 \cdot 10^{-3} ~^{ \circ}C$.
Таким образом, предположение о том, что температуры поверхностей золотой пластинки близки друг к другу, справедливо.
Зачерненная с двух сторон золотая пластинка толщиной $d = 10 мм$ помещена в вакууме между двумя абсолютно черными плоскостями, температуры которых $T_{1} = 0^{ \circ} С$ и $T_{2} = 100^{ \circ} С$. Теплопроводность золота $\lambda = 315 Вт/(м \cdot К)$, постоянная Стефана-Больцмана $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} Вт \cdot м^{-2} \cdot К^{-4}$. Найдите установившиеся со временем температуры $T_{3}$ и $T_{4}$ на сторонах золотой пластинки.
Решение:
Тепловой поток на всех участках - между горячим телом и пластинкой, между пластинкой и холодным телом, а также внутри самой пластинки - в установившемся режиме одинаков. По установленному экспериментально Стефаном и обоснованному теоретически Больцманом закону излучения нагретых абсолютно черных тел, с плоской поверхности нагретого тела, имеющего абсолютную температуру $T$, излучается тепловая мощность $W$, пропорциональная площади поверхности $S$ и четвертой степени температуры $T$. Коэффициентом пропорциональности является постоянная Стефана-Больцмана $\sigma$. Таким образом,
$W = \sigma ST^{4}$.
Черное тело поглощает все падающее на его поверхность излучение и одновременно с той же поверхности излучает в соответствии с установленным законом. Температура в условии задачи дана в градусах Цельсия, ее нужно перевести в шкалу Кельвина. Итак, выполняется такая цепочка равенств:
$\sigma (273 + T_{2} )^{4} - \sigma (273 + T_{3} )^{4} = \sigma (273 + T_{4} )^{4} - \sigma (273 + T_{1} )^{4} = \frac{ \lambda (T_{3} - T_{4} ) }{d}$.
Золото очень хорошо проводит тепло, поэтому разумно предположить, что температуры $T_{3}$ и $T_{4}$ мало отличаются друг от друга. Тогда
$\sigma (273 + T_{2} )^{4} + \sigma (273 + T_{1} )^{4} \approx 2 \sigma (273 + T_{3,4} )^{4}$.
Отсюда получаем
$T_{3,4} = 61^{ \circ} С$ и $T_{3} - T_{4} \approx 12,44 \cdot 10^{-3} ~^{ \circ}C$.
Таким образом, предположение о том, что температуры поверхностей золотой пластинки близки друг к другу, справедливо.
