Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13517
2020-02-22 
Один моль гелия нагревался от начальной температуры $T_{0} = 200 К$ в процессе с молярной теплоемкостью, которая зависела от абсолютной температуры $T$ по закону $C(T) = \frac{RT}{T_{0}}$. (Здесь $R$ - универсальная газовая постоянная.) При достижении некоторой температуры работа, которую совершил газ, оказалась равной нулю. На этом процесс завершился. Какую работу совершил газ на участке процесса, когда он расширялся? Найдите отношение объема газа в конечной точке процесса к его начальному объему при температуре $T_{0}$.
Решение:
Поскольку теплоемкость процесса пропорциональна температуре, количество теплоты, полученное газом при изменении температуры от начального значения $T_{н}$ до конечного значения $T_{к}$ можно найти графически (см. рисунок) - оно равно площади под графиком:
$Q = \nu \frac{R(T_{н} + T_{к} )}{2T_{н} } (T_{к} - T_{н}) = \frac{1}{2} \frac{ \nu R}{T_{н} } (T_{к}^{2} - T_{н}^{2} )$.
В соответствии с законом сохранения энергии работа газа равна разности между полученным в процессе количеством теплоты и изменением внутренней энергии газа:
$A = Q - \Delta U = \frac{1}{2} \frac{ \nu R}{T} ( T_{к}^{2} - T_{н}^{2} ) - \frac{3}{2} \nu R ( T_{к} - T_{н} )$.
Из полученного выражения видно, что на начальном участке процесса, отсчитываемом от температуры $T_{н} = T_{0}$, работа газа отрицательна, а при температуре $T_{к} = 2T_{0}$, суммарная работа газа равна нулю. Поскольку зависимость работы от температуры квадратичная и при температурах $T_{0}$ и $2T_{0}$ работа равна нулю, минимум функции достигается точно между этими двумя точками. Таким образом, нагреваясь от температуры $T_{н} = 1,5T_{0}$ до температуры $T_{к} = 2T_{0}$, газ совершает положительную работу. Эта работа равна
$A_{пол} = \frac{1}{8} \nu RT_{0} = 207,75 Дж$.
Чтобы найти отношение объемов газа в двух точках процесса, нужно найти связь между объемом газа и его температурой. Из закона сохранения энергии и условия задачи следует
$C(T)dT = dQ$,
или
$\frac{RT}{T_{0} } dT = \frac{3}{2} RdT + \frac{RT}{V} dV$,
или
$\frac{dT}{T_{0} } = \frac{3}{2} \frac{dT}{T} + \frac{dV}{V}$.
Проинтегрируем правую и левую части этого уравнения от начальной температуры $T_{0}$ до конечной температуры $2T_{0}$:
$\frac{2T_{0} - T_{0} }{T_{0} } = \frac{3}{2} ln \frac{2T_{0} }{T_{0} } + ln \frac{V_{к} }{V_{н} }$.
Отсюда находим
$\frac{V_{к} }{V_{н} } = e^{1 - \frac{3}{2} ln 2 } \approx 0,961$.
Один моль гелия нагревался от начальной температуры $T_{0} = 200 К$ в процессе с молярной теплоемкостью, которая зависела от абсолютной температуры $T$ по закону $C(T) = \frac{RT}{T_{0}}$. (Здесь $R$ - универсальная газовая постоянная.) При достижении некоторой температуры работа, которую совершил газ, оказалась равной нулю. На этом процесс завершился. Какую работу совершил газ на участке процесса, когда он расширялся? Найдите отношение объема газа в конечной точке процесса к его начальному объему при температуре $T_{0}$.
Решение:
Поскольку теплоемкость процесса пропорциональна температуре, количество теплоты, полученное газом при изменении температуры от начального значения $T_{н}$ до конечного значения $T_{к}$ можно найти графически (см. рисунок) - оно равно площади под графиком:
$Q = \nu \frac{R(T_{н} + T_{к} )}{2T_{н} } (T_{к} - T_{н}) = \frac{1}{2} \frac{ \nu R}{T_{н} } (T_{к}^{2} - T_{н}^{2} )$.
В соответствии с законом сохранения энергии работа газа равна разности между полученным в процессе количеством теплоты и изменением внутренней энергии газа:
$A = Q - \Delta U = \frac{1}{2} \frac{ \nu R}{T} ( T_{к}^{2} - T_{н}^{2} ) - \frac{3}{2} \nu R ( T_{к} - T_{н} )$.
Из полученного выражения видно, что на начальном участке процесса, отсчитываемом от температуры $T_{н} = T_{0}$, работа газа отрицательна, а при температуре $T_{к} = 2T_{0}$, суммарная работа газа равна нулю. Поскольку зависимость работы от температуры квадратичная и при температурах $T_{0}$ и $2T_{0}$ работа равна нулю, минимум функции достигается точно между этими двумя точками. Таким образом, нагреваясь от температуры $T_{н} = 1,5T_{0}$ до температуры $T_{к} = 2T_{0}$, газ совершает положительную работу. Эта работа равна
$A_{пол} = \frac{1}{8} \nu RT_{0} = 207,75 Дж$.
Чтобы найти отношение объемов газа в двух точках процесса, нужно найти связь между объемом газа и его температурой. Из закона сохранения энергии и условия задачи следует
$C(T)dT = dQ$,
или
$\frac{RT}{T_{0} } dT = \frac{3}{2} RdT + \frac{RT}{V} dV$,
или
$\frac{dT}{T_{0} } = \frac{3}{2} \frac{dT}{T} + \frac{dV}{V}$.
Проинтегрируем правую и левую части этого уравнения от начальной температуры $T_{0}$ до конечной температуры $2T_{0}$:
$\frac{2T_{0} - T_{0} }{T_{0} } = \frac{3}{2} ln \frac{2T_{0} }{T_{0} } + ln \frac{V_{к} }{V_{н} }$.
Отсюда находим
$\frac{V_{к} }{V_{н} } = e^{1 - \frac{3}{2} ln 2 } \approx 0,961$.
