Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13515
2020-02-22 
Сосуд с жесткими стенками заполнен несжимаемой жидкостью плотностью $\rho$. Внутренность сосуда имеет форму шара радиусом $R$. Декартовы оси координат выбранной инерциальной системы отсчета таковы, что ускорение свободного падения $\vec{g}$ имеет координаты 0, 0, $-g$. Сосуд движется поступательно с ускорением $\vec{a}$. Все проекции ускорения $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ положительны. Минимальное давление жидкости внутри сосуда равно $p_{min}$. Каково максимальное давление жидкости внутри сосуда? Найдите ответ на этот же вопрос в случае, когда внутренность заполненного жидкостью сосуда имеет форму куба с длиной ребра $A$, причем каждое ребро параллельно одной из осей координат.
Решение:
Максимальное давление, естественно, больше минимального. Если выбрать неинерциальную систему отсчета, связанную со стенками сосуда, то в ней жидкость покоится, но вдобавок к действующей на каждый участок жидкости с массой $m$ силе тяжести $m \vec{g}$ будет действовать сила инерции, равная $- m \vec{a}$. Эти силы вместе можно считать "эффективной силой тяжести", т.е. "ускорение свободного падения" $\vec{g}^{ \prime}$ в выбранной системе отсчета будет иметь координаты $- a_{x}, - a_{y}$ и $- (g + a_{z})$. Давление в сосуде распределено так, чтобы силы давления компенсировали действие этой "эффективной силы тяжести". Расстояние от точки, где давление минимально, вдоль линии, совпадающей с "ускорением свободного падения", до максимально удаленной точки жидкости внутри сосуда в форме шара равно $2R$. В этой точке и достигается максимальное значение давление, равное
$p_{max} = p_{min} + 2R \rho \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + (g + a_{z} )^{2}}$.
Для сосуда в форме куба разница давлений в двух точках объема, отличающихся на вектор перемещения $\Delta \vec{R}$, находится в соответствии с простой формулой: $\Delta p = \rho ( \Delta \vec{R} \cdot \vec{g}^{ \prime})$. Очевидно, что минимальное давление достигается в одной из вершин куба, а скалярное произведение $( \Delta \vec{R} \cdot \vec{g}^{ \prime})$ будет максимальным, если из этой вершины переместиться в наиболее удаленную точку. Поэтому
$p_{max} = p_{min} + A \rho ( a_{x} + a_{y} + a_{z} + g)$.
Сосуд с жесткими стенками заполнен несжимаемой жидкостью плотностью $\rho$. Внутренность сосуда имеет форму шара радиусом $R$. Декартовы оси координат выбранной инерциальной системы отсчета таковы, что ускорение свободного падения $\vec{g}$ имеет координаты 0, 0, $-g$. Сосуд движется поступательно с ускорением $\vec{a}$. Все проекции ускорения $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ положительны. Минимальное давление жидкости внутри сосуда равно $p_{min}$. Каково максимальное давление жидкости внутри сосуда? Найдите ответ на этот же вопрос в случае, когда внутренность заполненного жидкостью сосуда имеет форму куба с длиной ребра $A$, причем каждое ребро параллельно одной из осей координат.
Решение:
Максимальное давление, естественно, больше минимального. Если выбрать неинерциальную систему отсчета, связанную со стенками сосуда, то в ней жидкость покоится, но вдобавок к действующей на каждый участок жидкости с массой $m$ силе тяжести $m \vec{g}$ будет действовать сила инерции, равная $- m \vec{a}$. Эти силы вместе можно считать "эффективной силой тяжести", т.е. "ускорение свободного падения" $\vec{g}^{ \prime}$ в выбранной системе отсчета будет иметь координаты $- a_{x}, - a_{y}$ и $- (g + a_{z})$. Давление в сосуде распределено так, чтобы силы давления компенсировали действие этой "эффективной силы тяжести". Расстояние от точки, где давление минимально, вдоль линии, совпадающей с "ускорением свободного падения", до максимально удаленной точки жидкости внутри сосуда в форме шара равно $2R$. В этой точке и достигается максимальное значение давление, равное
$p_{max} = p_{min} + 2R \rho \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + (g + a_{z} )^{2}}$.
Для сосуда в форме куба разница давлений в двух точках объема, отличающихся на вектор перемещения $\Delta \vec{R}$, находится в соответствии с простой формулой: $\Delta p = \rho ( \Delta \vec{R} \cdot \vec{g}^{ \prime})$. Очевидно, что минимальное давление достигается в одной из вершин куба, а скалярное произведение $( \Delta \vec{R} \cdot \vec{g}^{ \prime})$ будет максимальным, если из этой вершины переместиться в наиболее удаленную точку. Поэтому
$p_{max} = p_{min} + A \rho ( a_{x} + a_{y} + a_{z} + g)$.
