Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13514
2020-02-22 
Четыре гладких тонких стержня закреплены неподвижно (см. рисунок). Два из них параллельны друг другу и горизонтальны, а два других параллельны друг другу и вертикальны. Два одинаковых маленьких шарика соединены невесомой нерастяжимой нитью длиной $L$. Диаметры шариков больше расстояний между параллельными стержнями. В начальный момент шарики удерживают так, что они неподвижны, нить при этом выпрямлена и почти горизонтальна. После отпускания шарики пришли в движение и ударились о горизонтальный пол одновременно. Каково минимальное расстояние $H$ от горизонтальных стержней до пола? Какими были при таком расстоянии скорости шариков за мгновение до их ударов о пол?
Решение:
В силу того что нить нерастяжима, в тот момент времени, когда верхний шарик "спрыгнул" с направляющих его движение горизонтальных стержней, нижний шарик имел нулевую скорость, поэтому вертикальная составляющая импульса системы шариков, связанных нитью, была равна нулю. К этому моменту потенциальная энергия системы шариков в поле тяжести земли уменьшилась на $mgL$, где $m$ - массы одинаковых шариков. Поэтому скорость, приобретенная шариком, скользившим по горизонтальным стержням, оказалась равной $v = \sqrt{2gL}$. Нить вращалась в этот момент с угловой скоростью $\omega = \frac{v}{L} = \sqrt{ \frac{2g}{L}}$. За время $t$ свободного падения системы тел ее центр масс опустился на расстояние
$H - \frac{L}{2} = \frac{gt^{2}}{2}$, или $\frac{2 \left ( H - \frac{L}{2} \right ) }{g} = t^{2}$.
Понятно, что к моменту одновременных ударов тел об пол выпрямленная нить приняла горизонтальное положение, т.е. за время $t$ нить повернулась на угол $90^{ \circ} = \frac{ \pi}{2}$. Отсюда следует
$\frac{2 \left (H - \frac{L}{2} \right )}{g} = \frac{L \pi^{2} }{8g}$, и $H = L \left ( \frac{1}{2} + \frac{ \pi^{2} }{16} \right ) \approx 1,117L$.
Скорости тел за мгновение до удара складывались из скорости центра масс системы, равной $gt$ по вертикали и $v/2$ по горизонтали, и скоростей тел относительно системы отсчета, связанной с центром масс, равных $\pm \sqrt{ \frac{gL}{2}}$:
$v_{1,2} = \sqrt{ \left ( \sqrt{ \frac{gL \pi^{2} }{8} } \pm \sqrt{ \frac{gL}{2} } \right )^{2} + \frac{gL}{2}}$.
Четыре гладких тонких стержня закреплены неподвижно (см. рисунок). Два из них параллельны друг другу и горизонтальны, а два других параллельны друг другу и вертикальны. Два одинаковых маленьких шарика соединены невесомой нерастяжимой нитью длиной $L$. Диаметры шариков больше расстояний между параллельными стержнями. В начальный момент шарики удерживают так, что они неподвижны, нить при этом выпрямлена и почти горизонтальна. После отпускания шарики пришли в движение и ударились о горизонтальный пол одновременно. Каково минимальное расстояние $H$ от горизонтальных стержней до пола? Какими были при таком расстоянии скорости шариков за мгновение до их ударов о пол?
Решение:
В силу того что нить нерастяжима, в тот момент времени, когда верхний шарик "спрыгнул" с направляющих его движение горизонтальных стержней, нижний шарик имел нулевую скорость, поэтому вертикальная составляющая импульса системы шариков, связанных нитью, была равна нулю. К этому моменту потенциальная энергия системы шариков в поле тяжести земли уменьшилась на $mgL$, где $m$ - массы одинаковых шариков. Поэтому скорость, приобретенная шариком, скользившим по горизонтальным стержням, оказалась равной $v = \sqrt{2gL}$. Нить вращалась в этот момент с угловой скоростью $\omega = \frac{v}{L} = \sqrt{ \frac{2g}{L}}$. За время $t$ свободного падения системы тел ее центр масс опустился на расстояние
$H - \frac{L}{2} = \frac{gt^{2}}{2}$, или $\frac{2 \left ( H - \frac{L}{2} \right ) }{g} = t^{2}$.
Понятно, что к моменту одновременных ударов тел об пол выпрямленная нить приняла горизонтальное положение, т.е. за время $t$ нить повернулась на угол $90^{ \circ} = \frac{ \pi}{2}$. Отсюда следует
$\frac{2 \left (H - \frac{L}{2} \right )}{g} = \frac{L \pi^{2} }{8g}$, и $H = L \left ( \frac{1}{2} + \frac{ \pi^{2} }{16} \right ) \approx 1,117L$.
Скорости тел за мгновение до удара складывались из скорости центра масс системы, равной $gt$ по вертикали и $v/2$ по горизонтали, и скоростей тел относительно системы отсчета, связанной с центром масс, равных $\pm \sqrt{ \frac{gL}{2}}$:
$v_{1,2} = \sqrt{ \left ( \sqrt{ \frac{gL \pi^{2} }{8} } \pm \sqrt{ \frac{gL}{2} } \right )^{2} + \frac{gL}{2}}$.
