Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13512
2020-02-22 
Тележка высотой $H = 30 см$ и длиной $L = 40 см$ должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно (см. рисунок). К крышке стола снизу прикрепили легкую пружину жесткостью $k = 50 Н/м$. К пружине прицепили маленький груз массой $m = 0,4 кг$. При недеформированной пружине груз находился на высоте $h = 42 см$ над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз?
Решение:
После отпускания груза на пружине он будет совершать гармонические колебания с круговой частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }$.
Прежде всего, выясним, на какой минимальной высоте над полом будет останавливаться груз в процессе колебаний. Из закона сохранения механической энергии имеем
$mgh = mg (h - y) + \frac{ky^{2} }{2}$,
где $y$ - максимальная деформация пружины в процессе колебаний. Отсюда находим
$y = \frac{2mg}{k} = 0,16 м$.
Поскольку $h - y = 26 см$, что меньше высоты тележки $L = 40 см$, то тележка не сможет проехать под столом при произвольной скорости движения.
Очевидно, что минимально возможная скорость движения тележки будет реализовываться при наиболее "удачном" варианте ее проезда под столом. Этот вариант таков: начало тележки должно поравняться с маятником тогда, когда груз, двигаясь снизу вверх, окажется на высоте $H$ над столом, а конец тележки должен поравняться с маятником тогда, когда груз окажется на этой же высоте при движении маятника сверху вниз.
Поместим начало координатной оси $x$, направленной вниз, в положение равновесия груза маятника и будем отсчитывать время $t$ от момента начала движения груза из нижнего положения вверх. Тогда закон движения груза будет иметь вид
$x(t) = x_{0} \cos \omega t$, где $x_{0} = \frac{y}{2} = \frac{mg}{k} = 0,08 м$.
В момент времени $\tau$, когда груз окажется на высоте $H$ над столом, его координата будет равна $h - H - x_{0}$, поэтому
$h - H - x_{0} = x_{0} \cos \omega \tau$,
откуда
$\tau = \frac{1}{ \omega} arccos \frac{h - H - x_{0} }{x_{0} }$.
Далее груз будет двигаться вверх до исходного положения, а затем снова вниз. На высоте $H$ над столом он вновь окажется через время
$\Delta t = \frac{2 \pi }{ \omega} - 2 \tau = \frac{2 \pi }{ \omega } - \frac{2 }{ \omega} arccos \frac{h - H - x_{0} }{x_{0} }$.
Это время должно быть равно времени движения тележки под маятником
$\Delta t = \frac{L}{v}$,
где $v$ - искомая минимальная скорость движения тележки. Приравнивая два последних выражения, получаем ответ:
$v = \frac{ \omega L}{ \left ( \pi - arccos \frac{h - H - x_{0} }{x_{0} } \right ) } = \frac{ \omega L}{2 \left ( \pi - \frac{ \pi }{3} \right ) } = \frac{3L}{4 \pi } \sqrt{ \frac{k}{m} } \approx 1,07 м/с$.
Тележка высотой $H = 30 см$ и длиной $L = 40 см$ должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно (см. рисунок). К крышке стола снизу прикрепили легкую пружину жесткостью $k = 50 Н/м$. К пружине прицепили маленький груз массой $m = 0,4 кг$. При недеформированной пружине груз находился на высоте $h = 42 см$ над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз?
Решение:
После отпускания груза на пружине он будет совершать гармонические колебания с круговой частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} }$.
Прежде всего, выясним, на какой минимальной высоте над полом будет останавливаться груз в процессе колебаний. Из закона сохранения механической энергии имеем
$mgh = mg (h - y) + \frac{ky^{2} }{2}$,
где $y$ - максимальная деформация пружины в процессе колебаний. Отсюда находим
$y = \frac{2mg}{k} = 0,16 м$.
Поскольку $h - y = 26 см$, что меньше высоты тележки $L = 40 см$, то тележка не сможет проехать под столом при произвольной скорости движения.
Очевидно, что минимально возможная скорость движения тележки будет реализовываться при наиболее "удачном" варианте ее проезда под столом. Этот вариант таков: начало тележки должно поравняться с маятником тогда, когда груз, двигаясь снизу вверх, окажется на высоте $H$ над столом, а конец тележки должен поравняться с маятником тогда, когда груз окажется на этой же высоте при движении маятника сверху вниз.
Поместим начало координатной оси $x$, направленной вниз, в положение равновесия груза маятника и будем отсчитывать время $t$ от момента начала движения груза из нижнего положения вверх. Тогда закон движения груза будет иметь вид
$x(t) = x_{0} \cos \omega t$, где $x_{0} = \frac{y}{2} = \frac{mg}{k} = 0,08 м$.
В момент времени $\tau$, когда груз окажется на высоте $H$ над столом, его координата будет равна $h - H - x_{0}$, поэтому
$h - H - x_{0} = x_{0} \cos \omega \tau$,
откуда
$\tau = \frac{1}{ \omega} arccos \frac{h - H - x_{0} }{x_{0} }$.
Далее груз будет двигаться вверх до исходного положения, а затем снова вниз. На высоте $H$ над столом он вновь окажется через время
$\Delta t = \frac{2 \pi }{ \omega} - 2 \tau = \frac{2 \pi }{ \omega } - \frac{2 }{ \omega} arccos \frac{h - H - x_{0} }{x_{0} }$.
Это время должно быть равно времени движения тележки под маятником
$\Delta t = \frac{L}{v}$,
где $v$ - искомая минимальная скорость движения тележки. Приравнивая два последних выражения, получаем ответ:
$v = \frac{ \omega L}{ \left ( \pi - arccos \frac{h - H - x_{0} }{x_{0} } \right ) } = \frac{ \omega L}{2 \left ( \pi - \frac{ \pi }{3} \right ) } = \frac{3L}{4 \pi } \sqrt{ \frac{k}{m} } \approx 1,07 м/с$.
