Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1351
2016-10-21 
Чёрный шарик радиусом $r = 1 мм$ подвешен на тонкой нити длиной $l = 1 м$. Вся система помещена в вакуумиро-ванную стеклянную трубку с аргоном при давлении $p_{0} = 0,1 Па$. Шарик освещают горизонтальным пучком света, плотность потока энергии в котором равна $\omega_{0} = 100 Дж/(м^{2} \cdot с)$. Оцените величину отклонения шарика от положения равновесия под действием света. Теплопроводностью шарика пренебречь. Учтите, что абсолютно чёрное тело, нагретое до абсолютной температуры $T$, излучает с единицы поверхности за единицу времени энергию, равную $\sigma T^{4}$, где $\sigma \approx 5,67 \cdot 10^{-8} Вт/(м^{2} \cdot К^{4})$. Температура газа в трубке постоянна и равна $T_{0} = 293 К$. Молярная масса аргона $\mu = 0,04 кг/моль$, плотность шарика $\rho = 1 г/см^{3}$.
Решение:
Свет, падая на шарик с одной стороны, нагревает её (вообще говоря, неравномерно). Примем, что температура освещённой стороны повышается на некоторую максимальную величину $\Delta T$, причём $\Delta T \ll T_{0}$. Шарик тепла не проводит, поэтому поступающая к нему энергия идёт, во-первых, на излучение, а во-вторых, на обмен теплом с окружающим газом. Оценим вклад каждого из этих видов теплоотдачи в энергообмен шарика с окружающей средой.
Мощность, рассеиваемая при излучении с единицы поверхности шарика, составляет
$W_{1} \approx \sigma (T_{0} + \Delta T)^{40} - \sigma T_{0}^{4} \approx 4 \sigma T_{0}^{3} \Delta T$
(в последнем выражении мы пренебрегли малыми слагаемыми, пропорциональными второй и более высоким степеням $\Delta T$).
Если с единицей поверхности шарика в единицу времени сталкивается $N$ молекул газа, и при каждом ударе молекуле отдаётся энергия $\Delta W$, то всего в окружающую среду таким образом отдаётся мощность $W_{2} = N \Delta W$.
Для оценки будем считать, что к поверхности шарика движется 1/6 часть всех молекул аргона, имеющих одинаковые скорости $v = \sqrt{ \frac{3RT_{0}}{ \mu}}$. Поскольку концентрация молекул в сосуде составляет
$n = \frac{p_{0}}{kT_{0}}$, и $N = \frac{1}{6} nv$, то:
$\Delta W \approx \frac{3}{2} k(T_{0}+ \Delta T) - \frac{3}{2} kT_{0} = \frac{3}{2} k \Delta T$,
$W_{2} = \frac{1}{6} nv \Delta W \approx \frac{1}{4} \cdot \frac{p_{0}v \Delta T}{T_{0}}$.
Заметим, что обе величины $W_{1}$ и $W_{2}$ пропорциональны $\Delta T$, поэтому их отношение одинаково для всех участков нагретой поверхности шарика:
$\frac{W_{2}}{W_{1}} \approx \frac{p_{0} \sqrt{3RT_{0}/ \mu}}{16 \sigma T_{0}^{4}} \approx 0,006$.
Таким образом, $W_{2} \ll W_{1}$, то есть можно пренебречь теплообменом шарика с окружающим его газом и считать, что вся поступающая к единице поверхности шарика мощность $W_{пост}$ в дальнейшем рассеивается путём переизлучения. Поэтому для оценки величины изменения температуры нагретой стороны шарика там, где свет падает перпендикулярно его поверхности, имеем:
$\Delta T \approx \frac{W_{пост}}{4 \sigma T_{0}^{3}} = \frac{ \omega_{0}}{ 4 \sigma T_{0}^{3}} \approx 17,5 К$
Остаётся выяснить, под действием какой силы при освещении горизонтальным пучком света шарик отклоняется от положения равновесия. Вначале оценим силу светового давления на шарик, действующую в горизонтальном направлении и возникающую из-за поглощения импульса падающего пучка и дальнейшего изотропного переизлучения света:
$F_{изл} \sim \frac{3}{2} \pi r^{2} \frac{ \omega_{0}}{c} \approx 1,6 \cdot 10^{ -12} Н$
(здесь $c$ — скорость света). Кроме этой силы, надо учесть взаимодействие неравномерно нагретого шарика с окружающим его разреженным газом — так называемую «радиометрическую» силу. Давление газа на освещённую (и поэтому более нагретую) часть шарика больше, чем на неосвещённую, так как молекулы при столкновении с освещённой половиной приобретают большую энергию, а значит, и уносят больший импульс. Величину добавочного давления на освещённую часть шарика можно оценить, приняв, что в среднем температура нагретой стороны равна $T_{0} + ( \Delta T/2)$. Тогда:
$\Delta p \approx nk \left ( T_{0} + \frac{ \Delta T}{2} \right ) - p_{0} = \frac{nk \Delta T}{2} = \frac{p_{0} \Delta T}{2T_{0}}$.
Следовательно, действующая на шарик средняя сила давления со стороны газа, направленная горизонтально, равна
$F_{д} \approx \Delta p \pi r^{2} \approx \frac{p_{0} \Delta T \pi r^{2}}{2T_{0}} \approx 9,4 \cdot 10^{-9} Н \gg F_{изл}$,
так что силой светового давления можно пренебречь по сравнению с радиометрической силой.
В вертикальном направлении на шарик действует сила тяжести:
$F_{т} = mg = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g \approx 4,1 \cdot 10^{-5} Н$.
Под действием этих двух сил, уравновешиваемых силой натяжения нити, шарик отклоняется от исходного равновесного положения так, что нить составляет с вертикалью некоторый угол $\alpha$. Поскольку $F_{д} \ll F_{т}$, то $\alpha \approx F_{д}/F_{т}$, и искомое смещение шарика от положения равновесия:
$\Delta \approx l \alpha \approx \frac{3p_{0}l \Delta T}{8 \rho r rho T_{0}} = \frac{3p_{0}l \omega_{0}}{32 g r \rho \sigma T_{0}^{4}} \approx 0,2 мм$.
Чёрный шарик радиусом $r = 1 мм$ подвешен на тонкой нити длиной $l = 1 м$. Вся система помещена в вакуумиро-ванную стеклянную трубку с аргоном при давлении $p_{0} = 0,1 Па$. Шарик освещают горизонтальным пучком света, плотность потока энергии в котором равна $\omega_{0} = 100 Дж/(м^{2} \cdot с)$. Оцените величину отклонения шарика от положения равновесия под действием света. Теплопроводностью шарика пренебречь. Учтите, что абсолютно чёрное тело, нагретое до абсолютной температуры $T$, излучает с единицы поверхности за единицу времени энергию, равную $\sigma T^{4}$, где $\sigma \approx 5,67 \cdot 10^{-8} Вт/(м^{2} \cdot К^{4})$. Температура газа в трубке постоянна и равна $T_{0} = 293 К$. Молярная масса аргона $\mu = 0,04 кг/моль$, плотность шарика $\rho = 1 г/см^{3}$.
Решение:
Свет, падая на шарик с одной стороны, нагревает её (вообще говоря, неравномерно). Примем, что температура освещённой стороны повышается на некоторую максимальную величину $\Delta T$, причём $\Delta T \ll T_{0}$. Шарик тепла не проводит, поэтому поступающая к нему энергия идёт, во-первых, на излучение, а во-вторых, на обмен теплом с окружающим газом. Оценим вклад каждого из этих видов теплоотдачи в энергообмен шарика с окружающей средой.
Мощность, рассеиваемая при излучении с единицы поверхности шарика, составляет
$W_{1} \approx \sigma (T_{0} + \Delta T)^{40} - \sigma T_{0}^{4} \approx 4 \sigma T_{0}^{3} \Delta T$
(в последнем выражении мы пренебрегли малыми слагаемыми, пропорциональными второй и более высоким степеням $\Delta T$).
Если с единицей поверхности шарика в единицу времени сталкивается $N$ молекул газа, и при каждом ударе молекуле отдаётся энергия $\Delta W$, то всего в окружающую среду таким образом отдаётся мощность $W_{2} = N \Delta W$.
Для оценки будем считать, что к поверхности шарика движется 1/6 часть всех молекул аргона, имеющих одинаковые скорости $v = \sqrt{ \frac{3RT_{0}}{ \mu}}$. Поскольку концентрация молекул в сосуде составляет
$n = \frac{p_{0}}{kT_{0}}$, и $N = \frac{1}{6} nv$, то:
$\Delta W \approx \frac{3}{2} k(T_{0}+ \Delta T) - \frac{3}{2} kT_{0} = \frac{3}{2} k \Delta T$,
$W_{2} = \frac{1}{6} nv \Delta W \approx \frac{1}{4} \cdot \frac{p_{0}v \Delta T}{T_{0}}$.
Заметим, что обе величины $W_{1}$ и $W_{2}$ пропорциональны $\Delta T$, поэтому их отношение одинаково для всех участков нагретой поверхности шарика:
$\frac{W_{2}}{W_{1}} \approx \frac{p_{0} \sqrt{3RT_{0}/ \mu}}{16 \sigma T_{0}^{4}} \approx 0,006$.
Таким образом, $W_{2} \ll W_{1}$, то есть можно пренебречь теплообменом шарика с окружающим его газом и считать, что вся поступающая к единице поверхности шарика мощность $W_{пост}$ в дальнейшем рассеивается путём переизлучения. Поэтому для оценки величины изменения температуры нагретой стороны шарика там, где свет падает перпендикулярно его поверхности, имеем:
$\Delta T \approx \frac{W_{пост}}{4 \sigma T_{0}^{3}} = \frac{ \omega_{0}}{ 4 \sigma T_{0}^{3}} \approx 17,5 К$
Остаётся выяснить, под действием какой силы при освещении горизонтальным пучком света шарик отклоняется от положения равновесия. Вначале оценим силу светового давления на шарик, действующую в горизонтальном направлении и возникающую из-за поглощения импульса падающего пучка и дальнейшего изотропного переизлучения света:
$F_{изл} \sim \frac{3}{2} \pi r^{2} \frac{ \omega_{0}}{c} \approx 1,6 \cdot 10^{ -12} Н$
(здесь $c$ — скорость света). Кроме этой силы, надо учесть взаимодействие неравномерно нагретого шарика с окружающим его разреженным газом — так называемую «радиометрическую» силу. Давление газа на освещённую (и поэтому более нагретую) часть шарика больше, чем на неосвещённую, так как молекулы при столкновении с освещённой половиной приобретают большую энергию, а значит, и уносят больший импульс. Величину добавочного давления на освещённую часть шарика можно оценить, приняв, что в среднем температура нагретой стороны равна $T_{0} + ( \Delta T/2)$. Тогда:
$\Delta p \approx nk \left ( T_{0} + \frac{ \Delta T}{2} \right ) - p_{0} = \frac{nk \Delta T}{2} = \frac{p_{0} \Delta T}{2T_{0}}$.
Следовательно, действующая на шарик средняя сила давления со стороны газа, направленная горизонтально, равна
$F_{д} \approx \Delta p \pi r^{2} \approx \frac{p_{0} \Delta T \pi r^{2}}{2T_{0}} \approx 9,4 \cdot 10^{-9} Н \gg F_{изл}$,
так что силой светового давления можно пренебречь по сравнению с радиометрической силой.
В вертикальном направлении на шарик действует сила тяжести:
$F_{т} = mg = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g \approx 4,1 \cdot 10^{-5} Н$.
Под действием этих двух сил, уравновешиваемых силой натяжения нити, шарик отклоняется от исходного равновесного положения так, что нить составляет с вертикалью некоторый угол $\alpha$. Поскольку $F_{д} \ll F_{т}$, то $\alpha \approx F_{д}/F_{т}$, и искомое смещение шарика от положения равновесия:
$\Delta \approx l \alpha \approx \frac{3p_{0}l \Delta T}{8 \rho r rho T_{0}} = \frac{3p_{0}l \omega_{0}}{32 g r \rho \sigma T_{0}^{4}} \approx 0,2 мм$.
