Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13507
2020-02-22 
Ванна на ножках в форме прямоугольного параллелепипеда может заполняться водой из крана, а выходит вода из нее через сливное отверстие в дне ванны прямо на пол. Если сливное отверстие закрыто, то при полностью открытом кране первоначально пустая ванна заполнится водой до максимального уровня $H_{0}$ за время $t_{1} = 10 мин$. Если кран закрыть и открыть сливное отверстие, то изначально полная водой ванна опорожнится за время $t_{2} = 20 мин$. Каким будет уровень воды в первоначально пустой ванне через $t_{3} = 5 мин$, если одновременно полностью открыть кран и оставить открытым сливное отверстие? Как изменится ответ, если в ванну с открытым сливным отверстием вдобавок к первому крану одновременно подавать воду из второго (точно такого же) полностью открытого крана? Через какое время после начала эксперимента вода начнет переливаться через края ванные в случае работы двух кранов?
Примечание. Решать дифференциальным уравнения аналитически не нужно! Воспользуйтесь компьютером.
Решение:
Обозначим отношение площади сечения ванны $S_{0}$ к площади сечения сливного отверстия $S_{1}$ через $\alpha, \alpha = \frac{S_{0}}{S_{1}}$. При опустошении первоначально полной ванны уровень воды в ней уменьшается согласно уравнению
$\frac{dH}{dt} = - \frac{ \sqrt{2gH}}{ \alpha}$.
Время, за которое ванна полностью опорожнится, равно
$t_{2} = \frac{S_{0} }{S_{1} } \sqrt{ \frac{2H_{0} }{g}} = \alpha \sqrt{ \frac{2H_{0} }{g} }$.
Отсюда получаем
$\frac{dH}{dt} = - 2 \frac{ \sqrt{HH_{0} } }{t_{2} }$.
Если ванна была пуста и одновременно открыли кран и оставили открытым сливное отверстие, то динамика роста уровня воды в ванне описывается уравнением
$\frac{dH}{dt} = \frac{H_{0} }{t_{1} } - 2 \frac{ \sqrt{HH_{0} } }{t_{2} }$.
Заметим, что установившийся уровень воды в ванне, когда производная уровня воды по времени равна нулю, при $\frac{t_{2}}{t_{1}} = 2$ как раз равен максимальному уровню воды $H_{0}$. В случае работы всего одного крана и открытого сливного отверстия вода из ванны не будет переливаться через край никогда.
При работе одновременно двух кранов уравнение изменится и станет таким:
$\frac{dH}{dt} = \frac{2H_{0}}{t_{1} } - 2 \frac{ \sqrt{HH_{0} }}{t_{2} }$.
В этом случае вода через некоторое время обязательно будет переливаться через край ванны. Действительно, если предположить, что стенки ванны стали очень высокими, а площадь ее горизонтального сечения на всех высотах осталась прежней, то установившийся уровень воды в ванне будет равен $4H_{0}$.
Чтобы найти ответы на поставленные вопросы, воспользуемся компьютером, так как аналитически написанные уравнения в рамках школьных возможностей решить не удается. На рисунке, полученном с помощью программы "Excel", приведены две зависимости относительного уровня воды $\frac{H}{H_{0}}$ в случаях работы одного и двух кранов в течение 10 мин (синяя и красная кривые соответственно). При работе одного крана через 5 мин уровень воды достигнет примерно $0,3H_{0}$, а при работе двух кранов через 5 мин уровень воды достигнет примерно $0,8H_{0}$. Вода в случае одновременной работы двух кранов начнет переливаться через край ванны примерно через 6,5 мин после начала эксперимента.
Ванна на ножках в форме прямоугольного параллелепипеда может заполняться водой из крана, а выходит вода из нее через сливное отверстие в дне ванны прямо на пол. Если сливное отверстие закрыто, то при полностью открытом кране первоначально пустая ванна заполнится водой до максимального уровня $H_{0}$ за время $t_{1} = 10 мин$. Если кран закрыть и открыть сливное отверстие, то изначально полная водой ванна опорожнится за время $t_{2} = 20 мин$. Каким будет уровень воды в первоначально пустой ванне через $t_{3} = 5 мин$, если одновременно полностью открыть кран и оставить открытым сливное отверстие? Как изменится ответ, если в ванну с открытым сливным отверстием вдобавок к первому крану одновременно подавать воду из второго (точно такого же) полностью открытого крана? Через какое время после начала эксперимента вода начнет переливаться через края ванные в случае работы двух кранов?
Примечание. Решать дифференциальным уравнения аналитически не нужно! Воспользуйтесь компьютером.
Решение:
Обозначим отношение площади сечения ванны $S_{0}$ к площади сечения сливного отверстия $S_{1}$ через $\alpha, \alpha = \frac{S_{0}}{S_{1}}$. При опустошении первоначально полной ванны уровень воды в ней уменьшается согласно уравнению
$\frac{dH}{dt} = - \frac{ \sqrt{2gH}}{ \alpha}$.
Время, за которое ванна полностью опорожнится, равно
$t_{2} = \frac{S_{0} }{S_{1} } \sqrt{ \frac{2H_{0} }{g}} = \alpha \sqrt{ \frac{2H_{0} }{g} }$.
Отсюда получаем
$\frac{dH}{dt} = - 2 \frac{ \sqrt{HH_{0} } }{t_{2} }$.
Если ванна была пуста и одновременно открыли кран и оставили открытым сливное отверстие, то динамика роста уровня воды в ванне описывается уравнением
$\frac{dH}{dt} = \frac{H_{0} }{t_{1} } - 2 \frac{ \sqrt{HH_{0} } }{t_{2} }$.
Заметим, что установившийся уровень воды в ванне, когда производная уровня воды по времени равна нулю, при $\frac{t_{2}}{t_{1}} = 2$ как раз равен максимальному уровню воды $H_{0}$. В случае работы всего одного крана и открытого сливного отверстия вода из ванны не будет переливаться через край никогда.
При работе одновременно двух кранов уравнение изменится и станет таким:
$\frac{dH}{dt} = \frac{2H_{0}}{t_{1} } - 2 \frac{ \sqrt{HH_{0} }}{t_{2} }$.
В этом случае вода через некоторое время обязательно будет переливаться через край ванны. Действительно, если предположить, что стенки ванны стали очень высокими, а площадь ее горизонтального сечения на всех высотах осталась прежней, то установившийся уровень воды в ванне будет равен $4H_{0}$.
Чтобы найти ответы на поставленные вопросы, воспользуемся компьютером, так как аналитически написанные уравнения в рамках школьных возможностей решить не удается. На рисунке, полученном с помощью программы "Excel", приведены две зависимости относительного уровня воды $\frac{H}{H_{0}}$ в случаях работы одного и двух кранов в течение 10 мин (синяя и красная кривые соответственно). При работе одного крана через 5 мин уровень воды достигнет примерно $0,3H_{0}$, а при работе двух кранов через 5 мин уровень воды достигнет примерно $0,8H_{0}$. Вода в случае одновременной работы двух кранов начнет переливаться через край ванны примерно через 6,5 мин после начала эксперимента.
