Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13504
2020-02-22 
В вакуумированный сосуд емкостью $V = 1,5 л$ с жесткими и не проводящими тепло стенками впрыснули $m = 1,1 г$ жидкой тяжелой воды $T_{2}O$ при температуре $0^{ \circ} С$ и герметизировали сосуд. Период полураспада ядер трития $\tau = 12,33$ года. При распаде одного моля ядер трития выделяется $E = 1,79 ГДж$ энергии. Молярная теплоемкость тяжелой воды такая же, как и молярная теплоемкость обычной воды, т.е. $75,6 Дж/ (моль \cdot К)$. Теплота испарения тоже такая же, как и для обычной воды, т.е. $L = 40 кДж/моль$. Какая температура и какое давление будут внутри сосуда через время $t = 2 ч$ после начала эксперимента?
Решение:
При условии что ядра кислорода имеют атомную массу 16, молярная масса тяжелой воды $T_{2}O$ равна $M = 22 г/моль$. Следовательно, в сосуд впрыснули всего 0,05 моль воды. Количество ядер трития, в молях, в сосуде равно $2 \frac{m}{M} = 0,1 моль$.
Ядерные реакции распада ядер трития происходят с вероятностью, которая не зависит от того, в состав какого химического вещества входят атомы с такими ядрами. При каждом распаде одного ядра трития образуется одно ядро гелия-3, высвобождается один электрон и, кроме того, возникает и покидает сосуд антинейтрино:
$_{1}^{3} T \Rightarrow 3He + e^{-} + \tilde{ \nu}$.
Ядро гелия-3, возле которого до распада ядра трития и так находился один электрон, тут же присоединяет к себе из ближайшего окружения еще один электрон, и образуется атом гелия - химически инертного газа.
В соответствии с законом радиоактивного распада число радиоактивных ядер в сосуде будет меняться со временем так:
$N = N_{0} \cdot 2^{ - \frac{t}{ \tau}}$,
где $N_{0}$ - исходное количество радиоактивных ядер. За время $t = 2 ч$ ($t$ гораздо меньше времени полураспада трития $\tau$) распадутся
$\Delta N = N_{0} - N = N_{0} \frac{t}{ \tau} ln 2$
ядер трития. В нашем случае $N_{0} = 0,1 моль$, и $\Delta N = 1,28 \cdot 10^{-6} моль$. В результате распадов выделится тепловая энергия
$U = E \Delta N = 2296 Дж$.
При этом за 2 часа в сосуде с тяжелой водой накопятся и продукты распада - атомы гелия-3 в количестве $\Delta N = 1,28 \cdot 10^{-6}$ моль и некоторые другие вещества. Например, какое-то время живут по отдельности и образовавшиеся в результате распадов ядер электроны, которые могут присоединяться к окружающим молекулам воды, и химически активные радикалы $OT$. Могут образовываться (наверное, с небольшой вероятностью) молекулы кислорода $O_{2}$, а также молекулы тяжелого водорода $T_{2}$ и молекулы перекиси тяжелой воды $TO_{2}$. Общее количество всех этих веществ значительно меньше исходного количества тяжелой воды (0,05 моль).
Понятно, что тяжелая вода (вместе с небольшим количеством других веществ) в теплоизолированном сосуде будет нагреваться, испаряться и частично или вся перейдет в пар. Оценим количество теплоты, которое необходимо для испарения всей имеющейся в сосуде жидкой воды. Предположим, что мы поместили в сосуд не имеющий теплоемкости поршень, который удерживает воду под давлением $10^{5} Па$. Тогда сначала вода подогреется до $100^{ \circ} С$, и на это потребуется 378 Дж энергии. Затем вода перейдет в пар при температуре $100^{ \circ} С$, на что потребуется 2000 Дж энергии. При этом объем под поршнем вырастет до величины $22,4 л \cdot 0,05 \cdot \frac{373}{273} = 1,53 л$. Вспомним, что по условию задачи объем сосуда равен 1,5 л - нам повезло! Итак, примерно через 2 часа вся вода в нашем "усовершенствованном" сосуде испарится, и к этому моменту в сосуде будет температура $100^{ \circ} С$ и давление $10^{5} Па$. "Вернем" теперь водяному пару энергию, которая пошла на то, чтобы он совершил работу по преодолению действия внешних сил, создававших то самое давление $10^{5} Па$ со стороны поршня. Эта работа равна $p \Delta V = 10^{5} Па \cdot ((1,53 - 0) \cdot 10^{-3} м^{3}) = 153 Дж$. Получается, что для испарения воды в сосуде без поршня потребуется 378 Дж + 2000 Дж - 153 Дж = 2225 Дж энергии. Эта величина меньше того количества теплоты, что выделилось в сосуде за два часа. Оставшаяся энергия (2296 - 2225) Дж = 71 Дж пойдет на изохорный нагрев водяного пара. Молярная теплоемкость водяного пара равна $3R \approx 25 Дж/(моль \cdot К)$, поэтому пар нагреется до температуры
$T = 373 К + \frac{71 Дж}{25 Дж/(моль \cdot К) \cdot 0,05 моль} \approx 430 К$.
Давление при этом достигнет величины
$p = 10^{5} Па \cdot \frac{430 К}{373 К} \approx 1,15 \cdot 10^{5} Па$.
В вакуумированный сосуд емкостью $V = 1,5 л$ с жесткими и не проводящими тепло стенками впрыснули $m = 1,1 г$ жидкой тяжелой воды $T_{2}O$ при температуре $0^{ \circ} С$ и герметизировали сосуд. Период полураспада ядер трития $\tau = 12,33$ года. При распаде одного моля ядер трития выделяется $E = 1,79 ГДж$ энергии. Молярная теплоемкость тяжелой воды такая же, как и молярная теплоемкость обычной воды, т.е. $75,6 Дж/ (моль \cdot К)$. Теплота испарения тоже такая же, как и для обычной воды, т.е. $L = 40 кДж/моль$. Какая температура и какое давление будут внутри сосуда через время $t = 2 ч$ после начала эксперимента?
Решение:
При условии что ядра кислорода имеют атомную массу 16, молярная масса тяжелой воды $T_{2}O$ равна $M = 22 г/моль$. Следовательно, в сосуд впрыснули всего 0,05 моль воды. Количество ядер трития, в молях, в сосуде равно $2 \frac{m}{M} = 0,1 моль$.
Ядерные реакции распада ядер трития происходят с вероятностью, которая не зависит от того, в состав какого химического вещества входят атомы с такими ядрами. При каждом распаде одного ядра трития образуется одно ядро гелия-3, высвобождается один электрон и, кроме того, возникает и покидает сосуд антинейтрино:
$_{1}^{3} T \Rightarrow 3He + e^{-} + \tilde{ \nu}$.
Ядро гелия-3, возле которого до распада ядра трития и так находился один электрон, тут же присоединяет к себе из ближайшего окружения еще один электрон, и образуется атом гелия - химически инертного газа.
В соответствии с законом радиоактивного распада число радиоактивных ядер в сосуде будет меняться со временем так:
$N = N_{0} \cdot 2^{ - \frac{t}{ \tau}}$,
где $N_{0}$ - исходное количество радиоактивных ядер. За время $t = 2 ч$ ($t$ гораздо меньше времени полураспада трития $\tau$) распадутся
$\Delta N = N_{0} - N = N_{0} \frac{t}{ \tau} ln 2$
ядер трития. В нашем случае $N_{0} = 0,1 моль$, и $\Delta N = 1,28 \cdot 10^{-6} моль$. В результате распадов выделится тепловая энергия
$U = E \Delta N = 2296 Дж$.
При этом за 2 часа в сосуде с тяжелой водой накопятся и продукты распада - атомы гелия-3 в количестве $\Delta N = 1,28 \cdot 10^{-6}$ моль и некоторые другие вещества. Например, какое-то время живут по отдельности и образовавшиеся в результате распадов ядер электроны, которые могут присоединяться к окружающим молекулам воды, и химически активные радикалы $OT$. Могут образовываться (наверное, с небольшой вероятностью) молекулы кислорода $O_{2}$, а также молекулы тяжелого водорода $T_{2}$ и молекулы перекиси тяжелой воды $TO_{2}$. Общее количество всех этих веществ значительно меньше исходного количества тяжелой воды (0,05 моль).
Понятно, что тяжелая вода (вместе с небольшим количеством других веществ) в теплоизолированном сосуде будет нагреваться, испаряться и частично или вся перейдет в пар. Оценим количество теплоты, которое необходимо для испарения всей имеющейся в сосуде жидкой воды. Предположим, что мы поместили в сосуд не имеющий теплоемкости поршень, который удерживает воду под давлением $10^{5} Па$. Тогда сначала вода подогреется до $100^{ \circ} С$, и на это потребуется 378 Дж энергии. Затем вода перейдет в пар при температуре $100^{ \circ} С$, на что потребуется 2000 Дж энергии. При этом объем под поршнем вырастет до величины $22,4 л \cdot 0,05 \cdot \frac{373}{273} = 1,53 л$. Вспомним, что по условию задачи объем сосуда равен 1,5 л - нам повезло! Итак, примерно через 2 часа вся вода в нашем "усовершенствованном" сосуде испарится, и к этому моменту в сосуде будет температура $100^{ \circ} С$ и давление $10^{5} Па$. "Вернем" теперь водяному пару энергию, которая пошла на то, чтобы он совершил работу по преодолению действия внешних сил, создававших то самое давление $10^{5} Па$ со стороны поршня. Эта работа равна $p \Delta V = 10^{5} Па \cdot ((1,53 - 0) \cdot 10^{-3} м^{3}) = 153 Дж$. Получается, что для испарения воды в сосуде без поршня потребуется 378 Дж + 2000 Дж - 153 Дж = 2225 Дж энергии. Эта величина меньше того количества теплоты, что выделилось в сосуде за два часа. Оставшаяся энергия (2296 - 2225) Дж = 71 Дж пойдет на изохорный нагрев водяного пара. Молярная теплоемкость водяного пара равна $3R \approx 25 Дж/(моль \cdot К)$, поэтому пар нагреется до температуры
$T = 373 К + \frac{71 Дж}{25 Дж/(моль \cdot К) \cdot 0,05 моль} \approx 430 К$.
Давление при этом достигнет величины
$p = 10^{5} Па \cdot \frac{430 К}{373 К} \approx 1,15 \cdot 10^{5} Па$.
