Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13496
2020-02-22 
Граница раздела областей пространства, в одной из которых есть однородное магнитное поле с индукцией $B = 10 Тл$, а в другой магнитного поля нет, представляет собой плоскость. Естественно, что вектор $\vec{B}$ параллелен этой границе раздела. Из области, где поля нет, в область с магнитным полем влетает электрон с зарядом $e$. Его скорость в момент пересечения границы перпендикулярна вектору $\vec{B}$, составляет угол $\alpha$ с плоскостью границы раздела и величина скорости много меньше скорости света. Движущийся в магнитном поле с ускорением a электрон излучает, и мощность электромагнитных волн - так называемого синхротронного излучения - пропорциональна квадрату произведения величины заряда на величину ускорения, деленного на скорость света: $W = \delta \left ( \frac{ea}{c} \right )^{2}$. Коэффициент пропорциональности обозначен символом $\delta$, он имеет размерность электрического сопротивления и равен $\delta = 20 Ом$. При каком значении угла $\alpha$ электрон не покинет область с магнитным полем?
Для справки: в Международной системе единиц (СИ) мощность излучения заряда $q$, движущегося с ускорением $a$, равна $W = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{2a^{2}q^{2} }{3c^{2} }$.
Решение:
Будем считать, что потери на излучение невелики. Если совсем не учитывать потери энергии электрона за счет излучения (первое приближение), то он обязательно покинет область с магнитным полем. Ускорение нерелятивистского электрона, движущегося в однородном магнитном поле со скоростью, перпендикулярной этому магнитному полю, без учета излучения равно
$a = \frac{ev_{0}B }{m}$,
где $m$ - масса электрона, $v_{0}$ - его скорость. Период обращения электрона по окружности радиусом $R_{0} = \frac{v_{0}m}{eB}$ равен
$T = \frac{2 \pi m}{eB}$.
Учтем теперь наличие излучения (второе приближение). Мощность потерь на синхротронное излучение равна
$W = \delta \left ( \frac{ea}{c} \right )^{2} = \frac{ \delta e^{4}v^{2}B^{2} }{m^{2}c^{2} }$.
Она пропорциональна кинетической энергии электрона. За один период электрон теряет примерно $\frac{ \delta e^{4}v^{2}B^{2}}{m^{2}c^{2} } \frac{2 \pi m}{eB}$ своей кинетической энергии, и это составляет небольшую долю от его первоначальной энергии: примерно $1,4 \cdot 10^{-10}$. Скорость электрона и пропорциональный ей радиус окружности траектории за один оборот уменьшились до величин
$v_{1} = v_{0} \left ( 1 - \frac{2 \pi \delta e^{3}B }{mc^{2} } \right )$ и $R_{1} = R_{0} \left ( 1 - \frac{2 \pi \delta e^{3}B }{mc^{2} } \right )$.
Если электрон влетел в область с магнитным полем под небольшим углом $\alpha$ к поверхности раздела и должен был бы при отсутствии потерь на излучение примерно через период вылететь из области с магнитным полем, то при уменьшении радиуса кривизны траектории за счет излучения и при сохранении положения центра кривизны траектория может вся целиком оказаться в области с магнитным полем. Для этого должно выполняться неравенство
$\frac{2 \pi \delta e^{3}B }{mc^{2} } > 1 - \cos \alpha \approx \frac{ \alpha }{2}$, или $\alpha < \sqrt{ \frac{4 \pi \delta e^{3}B }{mc^{2} } } \approx 1,2 \cdot 10^{-5}$ рад.
Ускорение электрона, движущегося в магнитном поле, имеет не только составляющую, перпендикулярную скорости, но и направленную навстречу скорости продольную составляющую, возникающую вследствие наличия излучения. Будем считать, что эта продольная составляющая ускорения значительно меньше поперечной составляющей, тогда получается, что и кинетическая энергия электрона, и величина его скорости убывают по экспоненциальному закону. Это означает, что движение электрона будет описываться так же, как и колебания маятника в среде с вязким трением, т.е. координаты частицы будут описываться уравнением затухающих колебаний. Можно составить соответствующие уравнении, решить их и прийти к такому же соотношению для угла $\alpha$, которое уже получено.
Граница раздела областей пространства, в одной из которых есть однородное магнитное поле с индукцией $B = 10 Тл$, а в другой магнитного поля нет, представляет собой плоскость. Естественно, что вектор $\vec{B}$ параллелен этой границе раздела. Из области, где поля нет, в область с магнитным полем влетает электрон с зарядом $e$. Его скорость в момент пересечения границы перпендикулярна вектору $\vec{B}$, составляет угол $\alpha$ с плоскостью границы раздела и величина скорости много меньше скорости света. Движущийся в магнитном поле с ускорением a электрон излучает, и мощность электромагнитных волн - так называемого синхротронного излучения - пропорциональна квадрату произведения величины заряда на величину ускорения, деленного на скорость света: $W = \delta \left ( \frac{ea}{c} \right )^{2}$. Коэффициент пропорциональности обозначен символом $\delta$, он имеет размерность электрического сопротивления и равен $\delta = 20 Ом$. При каком значении угла $\alpha$ электрон не покинет область с магнитным полем?
Для справки: в Международной системе единиц (СИ) мощность излучения заряда $q$, движущегося с ускорением $a$, равна $W = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{2a^{2}q^{2} }{3c^{2} }$.
Решение:
Будем считать, что потери на излучение невелики. Если совсем не учитывать потери энергии электрона за счет излучения (первое приближение), то он обязательно покинет область с магнитным полем. Ускорение нерелятивистского электрона, движущегося в однородном магнитном поле со скоростью, перпендикулярной этому магнитному полю, без учета излучения равно
$a = \frac{ev_{0}B }{m}$,
где $m$ - масса электрона, $v_{0}$ - его скорость. Период обращения электрона по окружности радиусом $R_{0} = \frac{v_{0}m}{eB}$ равен
$T = \frac{2 \pi m}{eB}$.
Учтем теперь наличие излучения (второе приближение). Мощность потерь на синхротронное излучение равна
$W = \delta \left ( \frac{ea}{c} \right )^{2} = \frac{ \delta e^{4}v^{2}B^{2} }{m^{2}c^{2} }$.
Она пропорциональна кинетической энергии электрона. За один период электрон теряет примерно $\frac{ \delta e^{4}v^{2}B^{2}}{m^{2}c^{2} } \frac{2 \pi m}{eB}$ своей кинетической энергии, и это составляет небольшую долю от его первоначальной энергии: примерно $1,4 \cdot 10^{-10}$. Скорость электрона и пропорциональный ей радиус окружности траектории за один оборот уменьшились до величин
$v_{1} = v_{0} \left ( 1 - \frac{2 \pi \delta e^{3}B }{mc^{2} } \right )$ и $R_{1} = R_{0} \left ( 1 - \frac{2 \pi \delta e^{3}B }{mc^{2} } \right )$.
Если электрон влетел в область с магнитным полем под небольшим углом $\alpha$ к поверхности раздела и должен был бы при отсутствии потерь на излучение примерно через период вылететь из области с магнитным полем, то при уменьшении радиуса кривизны траектории за счет излучения и при сохранении положения центра кривизны траектория может вся целиком оказаться в области с магнитным полем. Для этого должно выполняться неравенство
$\frac{2 \pi \delta e^{3}B }{mc^{2} } > 1 - \cos \alpha \approx \frac{ \alpha }{2}$, или $\alpha < \sqrt{ \frac{4 \pi \delta e^{3}B }{mc^{2} } } \approx 1,2 \cdot 10^{-5}$ рад.
Ускорение электрона, движущегося в магнитном поле, имеет не только составляющую, перпендикулярную скорости, но и направленную навстречу скорости продольную составляющую, возникающую вследствие наличия излучения. Будем считать, что эта продольная составляющая ускорения значительно меньше поперечной составляющей, тогда получается, что и кинетическая энергия электрона, и величина его скорости убывают по экспоненциальному закону. Это означает, что движение электрона будет описываться так же, как и колебания маятника в среде с вязким трением, т.е. координаты частицы будут описываться уравнением затухающих колебаний. Можно составить соответствующие уравнении, решить их и прийти к такому же соотношению для угла $\alpha$, которое уже получено.
