Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13490
2020-02-22 
Три одинаковые массы (например, равные единице) закреплены в вершинах правильного треугольника со стороной $a$. В скольких положениях равновесия может находиться пробная точка массой $m$ под действием ньютоновского притяжения со стороны масс, сосредоточенных в вершинах треугольника?
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что по крайней мере одно положение равновесие, при котором пробная точка $P$ расположена в центре треугольника, существует (красная точка на рисунке). Также ясно, что вне треугольника равновесий нет. Указанное равновесие принадлежит всем трем осям симметрии треугольника. Попробуем поискать на этих осях другие равновесия, опираясь на то обстоятельство, что в каждой точке таких осей результирующая сил притяжения направлена вдоль них самих. Рассмотрим, например, ось симметрии, проходящую через вершину $A$ и точку $O$ - середину стороны $BC$. Введем координатную ось $x$ с началом в точке $O$, направленную в сторону вершины $A$. Тогда координата вершины $A$ составит $\frac{a \sqrt{3}}{2}$. Если точка $P$ располагается на оси $x$ внутри треугольника $ABC$, то она будет притягиваться вершиной $A$ силой, направленной вдоль оси $x$ и равной
$F_{A} = \frac{m}{ \left ( \frac{a \sqrt{3} }{2} - x \right )^{2} }$
Здесь и далее гравитационную постоянную будем считать равной единице. Суммарная сила притяжения со стороны вершин $B$ и $C$ также направлена по оси $x$, и ее величина составляет
$F_{BC} = - 2 \frac{mx}{ \left ( x^{2} + \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} \right )^{3/2} }$.
Таким образом, условие равновесия принимает вид
$F = F_{A} + F_{BC} = m \left ( \frac{1}{ \left ( \frac{a \sqrt{3} }{2} - x \right )^{2} } - \frac{2x}{ \left ( x^{2} + \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} \right )^{3/2}} \right ) = 0$.
Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что отвечающее центру треугольника значение $x_{1} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ удовлетворяет этому уравнению.
Посмотрим, нет ли у этого уравнения других решений. Для этого заметим, что при $x = 0$ справедливо неравенство $F(0) > 0$, выражающее то обстоятельство, что если точка $P$ располагается в точке $O$, то результирующая сила направлена в сторону вершины $A$. Далее, например, при $x_{2} = \frac{a \sqrt{3}}{8}$
$F( x_{2} ) = \frac{64m}{513a^{2} } \left ( 19 - 54 \sqrt{ \frac{3}{19} } \right ) \approx - 0,306579237 \frac{m}{a^{2} } < 0$.
Функция $F(x)$ непрерывна и принимает на отрезке $[0; x_{2}]$ значения противоположных знаков. Таким образом, на этом отрезке у нее имеется еще по крайней мере один корень. Вычисления показывают, что этот корень один и он приблизительно равен $x_{3} \approx 0,1242929158a$.
Итак, в целом по треугольнику имеются по крайней мере четыре положения равновесия (см. красную и синие точки на рисунке).
Замечания
1. Вместо вычисления значения функции в конкретной точке $x_{2}$ достаточно было один раз продифференцировать функцию $F(x)$ и убедиться в ее строгом монотонном возрастании в окрестности точки $x_{1}$ (рис.).
2. Оси симметрии разделяют треугольник $ABC$ на шесть маленьких базисных треугольников. Доказательство отсутствия равновесий внутри этих треугольников автору остается неизвестным.
3. Было бы интересно исследовать вопрос о числе равновесий для произвольного правильного многоугольника с равными массами в вершинах.
Три одинаковые массы (например, равные единице) закреплены в вершинах правильного треугольника со стороной $a$. В скольких положениях равновесия может находиться пробная точка массой $m$ под действием ньютоновского притяжения со стороны масс, сосредоточенных в вершинах треугольника?
Решение:
Из соображений симметрии ясно, что по крайней мере одно положение равновесие, при котором пробная точка $P$ расположена в центре треугольника, существует (красная точка на рисунке). Также ясно, что вне треугольника равновесий нет. Указанное равновесие принадлежит всем трем осям симметрии треугольника. Попробуем поискать на этих осях другие равновесия, опираясь на то обстоятельство, что в каждой точке таких осей результирующая сил притяжения направлена вдоль них самих. Рассмотрим, например, ось симметрии, проходящую через вершину $A$ и точку $O$ - середину стороны $BC$. Введем координатную ось $x$ с началом в точке $O$, направленную в сторону вершины $A$. Тогда координата вершины $A$ составит $\frac{a \sqrt{3}}{2}$. Если точка $P$ располагается на оси $x$ внутри треугольника $ABC$, то она будет притягиваться вершиной $A$ силой, направленной вдоль оси $x$ и равной
$F_{A} = \frac{m}{ \left ( \frac{a \sqrt{3} }{2} - x \right )^{2} }$
Здесь и далее гравитационную постоянную будем считать равной единице. Суммарная сила притяжения со стороны вершин $B$ и $C$ также направлена по оси $x$, и ее величина составляет
$F_{BC} = - 2 \frac{mx}{ \left ( x^{2} + \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} \right )^{3/2} }$.
Таким образом, условие равновесия принимает вид
$F = F_{A} + F_{BC} = m \left ( \frac{1}{ \left ( \frac{a \sqrt{3} }{2} - x \right )^{2} } - \frac{2x}{ \left ( x^{2} + \left ( \frac{a}{2} \right )^{2} \right )^{3/2}} \right ) = 0$.
Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что отвечающее центру треугольника значение $x_{1} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ удовлетворяет этому уравнению.
Посмотрим, нет ли у этого уравнения других решений. Для этого заметим, что при $x = 0$ справедливо неравенство $F(0) > 0$, выражающее то обстоятельство, что если точка $P$ располагается в точке $O$, то результирующая сила направлена в сторону вершины $A$. Далее, например, при $x_{2} = \frac{a \sqrt{3}}{8}$
$F( x_{2} ) = \frac{64m}{513a^{2} } \left ( 19 - 54 \sqrt{ \frac{3}{19} } \right ) \approx - 0,306579237 \frac{m}{a^{2} } < 0$.
Функция $F(x)$ непрерывна и принимает на отрезке $[0; x_{2}]$ значения противоположных знаков. Таким образом, на этом отрезке у нее имеется еще по крайней мере один корень. Вычисления показывают, что этот корень один и он приблизительно равен $x_{3} \approx 0,1242929158a$.
Итак, в целом по треугольнику имеются по крайней мере четыре положения равновесия (см. красную и синие точки на рисунке).
Замечания
1. Вместо вычисления значения функции в конкретной точке $x_{2}$ достаточно было один раз продифференцировать функцию $F(x)$ и убедиться в ее строгом монотонном возрастании в окрестности точки $x_{1}$ (рис.).
2. Оси симметрии разделяют треугольник $ABC$ на шесть маленьких базисных треугольников. Доказательство отсутствия равновесий внутри этих треугольников автору остается неизвестным.
3. Было бы интересно исследовать вопрос о числе равновесий для произвольного правильного многоугольника с равными массами в вершинах.
