Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13489
2020-02-22 
Тонкостенная труба с жесткими стенками, поперечным круглым сечением $S = 10 см^{2}$ и длиной $L =1 м$ закрыта плоской тонкой заслонкой снизу и открыта сверху. Эту трубу, удерживая слегка отклоненной от вертикального положения, опустили в воду озера так, что ее верхний конец оказался чуть выше уровня воды в озере. После этого отверстие очень быстро открыли. Заслонка двигалась поступательно в направлении, перпендикулярном оси трубы. На какую максимальную высоту над уровнем воды в озере выплеснется вода из трубы? Рассмотрите два случая: а) сечение трубы при приближении к нижнему концу плавно возрастает от величины $S$ за счет раструба на отрезке, сравнимом по длине с диаметром внутреннего сечения; б) сечение постоянно и равно $S$ вплоть до самого нижнего конца трубы. Во втором случае эффективное сечение потока на входе воды в трубу меньше полного геометрического сечения: $\frac{S_{эфф}}{S} = k_{эфф} = 0,5$.
Решение:
Сечение трубы достаточно велико, чтобы можно было не учитывать потерь энергии на трение между водой и стенками трубы. Если вблизи нижнего конца сечение трубы плавно изменяется, то в этом случае (а) нет потерь энергии на перемешивание воды, уже находящейся в трубе, с водой, которая только что поступила в трубу, как это имеет место во втором случае (б). Пренебрежем сначала кинетической энергией воды вне трубы около ее нижнего открытого конца и будем полагать, что к моменту, когда вся труба окажется заполненной водой, потенциальная энергия воды в озере уменьшится, так как сначала труба не была заполнена, а теперь в ней находится вода. Иными словами, можно считать, что тонкий слой воды с поверхности озера переместился в трубу. Это уменьшение потенциальной энергии сопровождается ростом кинетической энергии воды, которая движется в объеме трубы. Таким образом, получаем уравнение
$\rho gSL \frac{L}{2} = \frac{ \rho SLu^{2} }{2}$.
Отсюда находим значение скорости:
$u = \sqrt{gL}$.
Первая порция воды, вырвавшаяся из трубы, будет иметь скорость $u$, поэтому она взлетит (выплеснется) на высоту
$h_{max} = \frac{u^{2}}{2g} = \frac{L}{2}$.
Теперь оценим кинетическую энергию, которую к моменту заполнения трубы имеет вода снаружи трубы. Будем считать, что эта вода движется со всех направлений к отверстию и что площадь поверхности сферы, к которой она сходится, равна площади поперечного сечения трубы. Радиус такой сферы равен $R = \frac{ \sqrt{ \frac{S}{n}}}{2}$. Уравнение непрерывности для порции воды, находящейся на расстоянии $x > R$ от центра сферы, дает зависимость скорости этих порций воды от $x$:
$4 \pi x^{2} \cdot u_{x} = Su$.
Полная кинетическая энергия всей воды, движущейся снаружи трубы в момент ее заполнения, равна примерно
$\int_{R}^{ \infty} \frac{ \rho dx \cdot 4 \pi x^{2}}{2} \left ( \frac{Su}{4 \pi x^{2} } \right )^{2} = \int_{R}^{ \infty} \frac{ \rho dx (Su)^{2} }{8 \pi x^{2} } = \frac{ \rho (Su)^{2} }{8 \pi R} = \frac{L \rho u^{2}S }{2} \frac{1}{2L} \sqrt{ \frac{S}{ \pi} }$.
Видно, что эта энергия составляет только небольшую долю, а именно $\frac{1}{2L} \sqrt{ \frac{S}{ \pi} } = 8,9 \cdot 10^{-3}$, от кинетической энергии воды внутри трубы. Это означает, что сделанное пренебрежение оправдано.
Рассмотрим теперь второй случай, когда сечение трубы всюду одинаковое, поэтому вода, втекающая в трубу, не по всему нижнему сечению трубы имеет одинаковую скорость. Вблизи ее нижнего конца у стенок внутри трубы скорость воды равна нулю, а в центре сечения скорость течения самая большая, и это связано не с вязкостью воды, а с тем, что переход от большого сечения потока воды в озере к малому сечению в трубе не плавный! В этом случае эффективное сечение трубы на входе вдвое меньше ее геометрического полного сечения:
$\frac{S_{эфф}}{S} = \frac{1}{2} = k_{эфф}$.
Значит, струя воды входит в трубу со скоростью $u$, а вдали от входа в это же время вода в трубе движется со скоростью $u \cdot k_{эфф}$. В результате теряется значительная доля кинетической энергии воды, входящей в трубу. Если к некоторому моменту времени труба оказалась заполненной на длину $x$ и вода в трубе движется с ускорением $a$, то давление вблизи нижнего конца трубы внутри трубы и обеспечивает это ускорение. Из второго закона Ньютона следует, что
$pS - \rho Sxg = \rho Sxa$.
Значит, давление равно
$p = \rho x (g + a)$.
Из уравнения Бернулли для движения воды через нижнее отверстие получаем
$\frac{ \rho v^{2}}{2} = \rho gL - p$.
Вдобавок нам известна кинематическая связь
$\frac{dx}{dt} = v \cdot k_{эфф}$.
Объединяя все соотношения, получим уравнение для координаты $x$ уровня воды в трубе:
$\frac{1}{2} \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} = k_{эфф}^{2} (gL - x(g + a))$.
Численное решение этого уравнения на компьютере показывает, что ускорение $a$, с которым движется уровень воды в трубе, при любых разумных начальных значениях $x, a$ и $\frac{dx}{dt}$ быстро "выходит" на стационарное значение, зависящее от величины $k_{эфф}$. Можно сразу предположить, что $a = const$, и найти эту постоянную величину. При $0 < x \ll L$, т.е. при $x = 0$,
$\left ( \frac{dx}{dt} \right )_{0} = k_{эфф} \sqrt{2gL}$.
Имеется в виду, что труба уже начала заполняться водой и механизм торможения, для описания которого и вводится величина $k_{эфф}$, уже работает. При $x = L$
$\left ( \frac{dx}{dt} \right )_{L} = k_{эфф} \sqrt{2aL}$.
Считая ускорение постоянной величиной, воспользуемся известным соотношением $2aL = \left ( \frac{dx}{dt} \right )_{кон}^{2} - \left ( \frac{dx}{dt} \right )_{нач}^{2}$. Из этого соотношения следует
$a = - g \frac{ k_{эфф}^{2} }{1 + k_{эфф}^{2} }$.
Отсюда можно найти и максимальную высоту, на которую выплеснется вода из верхнего отверстия трубы:
$h_{max} = L \frac{k_{эфф}^{4} }{1 + k_{эфф}^{2} }$.
В первом случае (а) $k_{эфф} = 1$, поэтому $h_{max} = \frac{L}{2}$, во втором случае (б) $k_{эфф} = 0,5$ и, значит, $h_{max} = \frac{L}{20}$. Заметим, что если в эксперименте получается какое-то промежуточное значение $h_{max}$, то по отношению $\frac{ h_{max}}{L}$ можно найти соответствующее ему значение коэффициента $k_{эфф}$.
Тонкостенная труба с жесткими стенками, поперечным круглым сечением $S = 10 см^{2}$ и длиной $L =1 м$ закрыта плоской тонкой заслонкой снизу и открыта сверху. Эту трубу, удерживая слегка отклоненной от вертикального положения, опустили в воду озера так, что ее верхний конец оказался чуть выше уровня воды в озере. После этого отверстие очень быстро открыли. Заслонка двигалась поступательно в направлении, перпендикулярном оси трубы. На какую максимальную высоту над уровнем воды в озере выплеснется вода из трубы? Рассмотрите два случая: а) сечение трубы при приближении к нижнему концу плавно возрастает от величины $S$ за счет раструба на отрезке, сравнимом по длине с диаметром внутреннего сечения; б) сечение постоянно и равно $S$ вплоть до самого нижнего конца трубы. Во втором случае эффективное сечение потока на входе воды в трубу меньше полного геометрического сечения: $\frac{S_{эфф}}{S} = k_{эфф} = 0,5$.
Решение:
Сечение трубы достаточно велико, чтобы можно было не учитывать потерь энергии на трение между водой и стенками трубы. Если вблизи нижнего конца сечение трубы плавно изменяется, то в этом случае (а) нет потерь энергии на перемешивание воды, уже находящейся в трубе, с водой, которая только что поступила в трубу, как это имеет место во втором случае (б). Пренебрежем сначала кинетической энергией воды вне трубы около ее нижнего открытого конца и будем полагать, что к моменту, когда вся труба окажется заполненной водой, потенциальная энергия воды в озере уменьшится, так как сначала труба не была заполнена, а теперь в ней находится вода. Иными словами, можно считать, что тонкий слой воды с поверхности озера переместился в трубу. Это уменьшение потенциальной энергии сопровождается ростом кинетической энергии воды, которая движется в объеме трубы. Таким образом, получаем уравнение
$\rho gSL \frac{L}{2} = \frac{ \rho SLu^{2} }{2}$.
Отсюда находим значение скорости:
$u = \sqrt{gL}$.
Первая порция воды, вырвавшаяся из трубы, будет иметь скорость $u$, поэтому она взлетит (выплеснется) на высоту
$h_{max} = \frac{u^{2}}{2g} = \frac{L}{2}$.
Теперь оценим кинетическую энергию, которую к моменту заполнения трубы имеет вода снаружи трубы. Будем считать, что эта вода движется со всех направлений к отверстию и что площадь поверхности сферы, к которой она сходится, равна площади поперечного сечения трубы. Радиус такой сферы равен $R = \frac{ \sqrt{ \frac{S}{n}}}{2}$. Уравнение непрерывности для порции воды, находящейся на расстоянии $x > R$ от центра сферы, дает зависимость скорости этих порций воды от $x$:
$4 \pi x^{2} \cdot u_{x} = Su$.
Полная кинетическая энергия всей воды, движущейся снаружи трубы в момент ее заполнения, равна примерно
$\int_{R}^{ \infty} \frac{ \rho dx \cdot 4 \pi x^{2}}{2} \left ( \frac{Su}{4 \pi x^{2} } \right )^{2} = \int_{R}^{ \infty} \frac{ \rho dx (Su)^{2} }{8 \pi x^{2} } = \frac{ \rho (Su)^{2} }{8 \pi R} = \frac{L \rho u^{2}S }{2} \frac{1}{2L} \sqrt{ \frac{S}{ \pi} }$.
Видно, что эта энергия составляет только небольшую долю, а именно $\frac{1}{2L} \sqrt{ \frac{S}{ \pi} } = 8,9 \cdot 10^{-3}$, от кинетической энергии воды внутри трубы. Это означает, что сделанное пренебрежение оправдано.
Рассмотрим теперь второй случай, когда сечение трубы всюду одинаковое, поэтому вода, втекающая в трубу, не по всему нижнему сечению трубы имеет одинаковую скорость. Вблизи ее нижнего конца у стенок внутри трубы скорость воды равна нулю, а в центре сечения скорость течения самая большая, и это связано не с вязкостью воды, а с тем, что переход от большого сечения потока воды в озере к малому сечению в трубе не плавный! В этом случае эффективное сечение трубы на входе вдвое меньше ее геометрического полного сечения:
$\frac{S_{эфф}}{S} = \frac{1}{2} = k_{эфф}$.
Значит, струя воды входит в трубу со скоростью $u$, а вдали от входа в это же время вода в трубе движется со скоростью $u \cdot k_{эфф}$. В результате теряется значительная доля кинетической энергии воды, входящей в трубу. Если к некоторому моменту времени труба оказалась заполненной на длину $x$ и вода в трубе движется с ускорением $a$, то давление вблизи нижнего конца трубы внутри трубы и обеспечивает это ускорение. Из второго закона Ньютона следует, что
$pS - \rho Sxg = \rho Sxa$.
Значит, давление равно
$p = \rho x (g + a)$.
Из уравнения Бернулли для движения воды через нижнее отверстие получаем
$\frac{ \rho v^{2}}{2} = \rho gL - p$.
Вдобавок нам известна кинематическая связь
$\frac{dx}{dt} = v \cdot k_{эфф}$.
Объединяя все соотношения, получим уравнение для координаты $x$ уровня воды в трубе:
$\frac{1}{2} \left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2} = k_{эфф}^{2} (gL - x(g + a))$.
Численное решение этого уравнения на компьютере показывает, что ускорение $a$, с которым движется уровень воды в трубе, при любых разумных начальных значениях $x, a$ и $\frac{dx}{dt}$ быстро "выходит" на стационарное значение, зависящее от величины $k_{эфф}$. Можно сразу предположить, что $a = const$, и найти эту постоянную величину. При $0 < x \ll L$, т.е. при $x = 0$,
$\left ( \frac{dx}{dt} \right )_{0} = k_{эфф} \sqrt{2gL}$.
Имеется в виду, что труба уже начала заполняться водой и механизм торможения, для описания которого и вводится величина $k_{эфф}$, уже работает. При $x = L$
$\left ( \frac{dx}{dt} \right )_{L} = k_{эфф} \sqrt{2aL}$.
Считая ускорение постоянной величиной, воспользуемся известным соотношением $2aL = \left ( \frac{dx}{dt} \right )_{кон}^{2} - \left ( \frac{dx}{dt} \right )_{нач}^{2}$. Из этого соотношения следует
$a = - g \frac{ k_{эфф}^{2} }{1 + k_{эфф}^{2} }$.
Отсюда можно найти и максимальную высоту, на которую выплеснется вода из верхнего отверстия трубы:
$h_{max} = L \frac{k_{эфф}^{4} }{1 + k_{эфф}^{2} }$.
В первом случае (а) $k_{эфф} = 1$, поэтому $h_{max} = \frac{L}{2}$, во втором случае (б) $k_{эфф} = 0,5$ и, значит, $h_{max} = \frac{L}{20}$. Заметим, что если в эксперименте получается какое-то промежуточное значение $h_{max}$, то по отношению $\frac{ h_{max}}{L}$ можно найти соответствующее ему значение коэффициента $k_{эфф}$.
