Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13488
2020-02-22 
В точке А - середине дна стакана с вертикальныли стенками - находится тяжелый шарик (рис.). С какой по величине и направлению скоростью надо выстрелить шарик так, чтобы, ударившись $n$ раз о стенки, он вернулся в исходное положение? Какое время понадобится на такое движение? Ширину стакана считать равной $2l$, столкновения шарика со стенками - абсолютно упругими.
Решение:
Сделаем "развертку" стакана, как это показано на рисунке. Присваивая исходному стакану номер 0, дадим полученным в результате развертки стаканам номера $\pm 1, \pm 2$ и т.д. Пусть $A_{n}$ - середина донышка $n$-го стакана. Чтобы после $n$ упругих ударов об стенки шарик вернулся в исходную точку А, в начальный момент им надо выстрелить так, чтобы в случае отсутствия стенок он попал в точку $A_{n}$. Последующая "свертка" стаканов вместе с найденной параболической траекторией даст исходное решение (см. рис. для случая $n = 2$).
Для аналитического исследования задачи введем неподвижную систему отсчета с горизонтальной осью $x$ и направленной вертикально вверх осью $y$. Тогда если $v$ - начальная скорость, а $\alpha$ - отсчитываемый от горизонтального направления начальный угол, то
$\Delta x = v \cos \alpha \cdot t, \Delta y = v \sin \alpha \cdot t - \frac{gt^{2} }{2}$.
Приравнивая нулю второе соотношение, находим, что время движения составит
$t = \frac{2v \sin \alpha}{g}$.
Подставляя это значение в первое соотношение, получим равенство
$2ln = \frac{v^{2} \sin 2 \alpha}{g}$,
задающее связь между данными задачи и начальными условиями, определяющими требуемое движение. Отсюда имеем
$\sin 2 \alpha = \frac{2lgn}{v^[2 } \leq 1$.
Это неравенство определяет ограничение снизу на величину начальной скорости. В случае, когда нестрогое неравенство обращается в равенство,
$\sin 2 \alpha = 1, \alpha = \frac{ \pi }{4}, v = \sqrt{2lgn}$,
и задача имеет единственное решение. Если же имеет место строгое неравенство, то решений два:
$\alpha_{1} = \frac{1}{2} arcsin \frac{2lgn}{v^{2} }$ и $\alpha_{2} = \frac{ \pi}{2} - \frac{1}{2} arcsin \frac{2lgn}{v^{2} }$.
Им отвечают, соответственно, настильная и навесная траектории.
А что если начальная точка располагается где угодно на дне стакана или если после столкновений со стенками шарик попадает в любую другую точку донышка? Подумайте над этими вопросами самостоятельно.
В точке А - середине дна стакана с вертикальныли стенками - находится тяжелый шарик (рис.). С какой по величине и направлению скоростью надо выстрелить шарик так, чтобы, ударившись $n$ раз о стенки, он вернулся в исходное положение? Какое время понадобится на такое движение? Ширину стакана считать равной $2l$, столкновения шарика со стенками - абсолютно упругими.
Решение:
Сделаем "развертку" стакана, как это показано на рисунке. Присваивая исходному стакану номер 0, дадим полученным в результате развертки стаканам номера $\pm 1, \pm 2$ и т.д. Пусть $A_{n}$ - середина донышка $n$-го стакана. Чтобы после $n$ упругих ударов об стенки шарик вернулся в исходную точку А, в начальный момент им надо выстрелить так, чтобы в случае отсутствия стенок он попал в точку $A_{n}$. Последующая "свертка" стаканов вместе с найденной параболической траекторией даст исходное решение (см. рис. для случая $n = 2$).
Для аналитического исследования задачи введем неподвижную систему отсчета с горизонтальной осью $x$ и направленной вертикально вверх осью $y$. Тогда если $v$ - начальная скорость, а $\alpha$ - отсчитываемый от горизонтального направления начальный угол, то
$\Delta x = v \cos \alpha \cdot t, \Delta y = v \sin \alpha \cdot t - \frac{gt^{2} }{2}$.
Приравнивая нулю второе соотношение, находим, что время движения составит
$t = \frac{2v \sin \alpha}{g}$.
Подставляя это значение в первое соотношение, получим равенство
$2ln = \frac{v^{2} \sin 2 \alpha}{g}$,
задающее связь между данными задачи и начальными условиями, определяющими требуемое движение. Отсюда имеем
$\sin 2 \alpha = \frac{2lgn}{v^[2 } \leq 1$.
Это неравенство определяет ограничение снизу на величину начальной скорости. В случае, когда нестрогое неравенство обращается в равенство,
$\sin 2 \alpha = 1, \alpha = \frac{ \pi }{4}, v = \sqrt{2lgn}$,
и задача имеет единственное решение. Если же имеет место строгое неравенство, то решений два:
$\alpha_{1} = \frac{1}{2} arcsin \frac{2lgn}{v^{2} }$ и $\alpha_{2} = \frac{ \pi}{2} - \frac{1}{2} arcsin \frac{2lgn}{v^{2} }$.
Им отвечают, соответственно, настильная и навесная траектории.
А что если начальная точка располагается где угодно на дне стакана или если после столкновений со стенками шарик попадает в любую другую точку донышка? Подумайте над этими вопросами самостоятельно.
