Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13486
2020-02-22 
Коэффициент преломления света у жидкого масла $n = 1,47$, плотность масла $\rho = 0,95 г/см^{3}$. Капелька прозрачного масла в воздухе представляла собой маленький шарик, а упав на поверхность воды, она превратилась в круглое пятно радиусом $r = 2,5 мм$. Если высоко над масляным пятном поместить небольшой (точечный) источник света, то видны два изображения этого источника: более яркое под поверхностью воды на глубине $h_{1} = 10 мм$ и менее яркое над масляным пятном на высоте $h_{2} = 3 мм$. Оцените величину радиуса масляной капельки в воздухе.
Решение:
Капля масла, имея меньшую плотность, чем вода, находится в равновесии на поверхности воды. Поскольку видны четкие изображения точечного источника, то это означает, что форма капли близка к форме тонкой линзы с разными радиусами кривизны сверху и снизу. Более яркое изображение источника под поверхностью воды возникает вследствие отражения света от поверхности раздела воздух-масло, а менее яркое изображение, находящееся над поверхностью воды, соответствует отражению света от границы раздела масло-вода. Изображение удаленного источника в сферическом зеркале возникает в его фокусе, находящемся в середине радиуса зеркала. Поэтому радиус кривизны границы раздела воздух-масло в верхней части масляной фигуры равен
$R_{1} = 2h_{1} = 20 мм \gg 2,5 мм$.
Радиус кривизны $R_{2}$ поверхности раздела масло-вода внизу капли будем искать из условия, что свет дважды пошел через линзу и отразился от сферического зеркала радиусом $R_{2}$:
$\frac{1}{h_{2} } = 2(n - 1) \left ( \frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{2} } \right ) + \frac{2}{R_{2} }$.
Отсюда находим
$R_{2} \approx 10,3 мм \gg 2,5 мм$.
Если предположить (правда, это не соответствует действительности), что радиусы кривизны поверхностей раздела сверху и снизу не зависят от расстояния от центра капли, т.е. что капля составлена из двух сегментов шаров разных радиусов $R_{1}$ и $R_{2}$, то объем масла равен примерно
$V = \frac{5 \pi r^{4}}{12} \left ( \frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{2} } \right )$.
Теперь можно сделать оценку для радиуса капли масла, когда она падала в воздухе:
$r_{0} = \sqrt[3]{ \frac{3V}{4 \pi}} = \sqrt[3]{ \frac{5}{16}r^{4} \left ( \frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{2} } \right ) } \approx 1,2 мм$.
Конечно, это не точное значение, но перед отрывом от кончика пипетки, из которой выдавливается масло, капля действительно имеет радиус порядка 1 мм.
Обратим внимание на то, что, в соответствии с проведенной оценкой объемов верхней и нижней частей капли, ниже уровня воды, совпадающего с краями масляного пятна, находится приблизительно 2/3 объема капли, плотность которой весьма близка к плотности воды. Поскольку такое равновесие возможно только в случае, если поверхность воды вблизи краев капли не является плоской, то в полученном решении обнаруживается другая - более сложная - задача: а какова настоящая форма поверхностей масла и какова форма поверхности воды вблизи масляного пятна? Ее заинтересованные читатели, возможно, будут решать самостоятельно.
Коэффициент преломления света у жидкого масла $n = 1,47$, плотность масла $\rho = 0,95 г/см^{3}$. Капелька прозрачного масла в воздухе представляла собой маленький шарик, а упав на поверхность воды, она превратилась в круглое пятно радиусом $r = 2,5 мм$. Если высоко над масляным пятном поместить небольшой (точечный) источник света, то видны два изображения этого источника: более яркое под поверхностью воды на глубине $h_{1} = 10 мм$ и менее яркое над масляным пятном на высоте $h_{2} = 3 мм$. Оцените величину радиуса масляной капельки в воздухе.
Решение:
Капля масла, имея меньшую плотность, чем вода, находится в равновесии на поверхности воды. Поскольку видны четкие изображения точечного источника, то это означает, что форма капли близка к форме тонкой линзы с разными радиусами кривизны сверху и снизу. Более яркое изображение источника под поверхностью воды возникает вследствие отражения света от поверхности раздела воздух-масло, а менее яркое изображение, находящееся над поверхностью воды, соответствует отражению света от границы раздела масло-вода. Изображение удаленного источника в сферическом зеркале возникает в его фокусе, находящемся в середине радиуса зеркала. Поэтому радиус кривизны границы раздела воздух-масло в верхней части масляной фигуры равен
$R_{1} = 2h_{1} = 20 мм \gg 2,5 мм$.
Радиус кривизны $R_{2}$ поверхности раздела масло-вода внизу капли будем искать из условия, что свет дважды пошел через линзу и отразился от сферического зеркала радиусом $R_{2}$:
$\frac{1}{h_{2} } = 2(n - 1) \left ( \frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{2} } \right ) + \frac{2}{R_{2} }$.
Отсюда находим
$R_{2} \approx 10,3 мм \gg 2,5 мм$.
Если предположить (правда, это не соответствует действительности), что радиусы кривизны поверхностей раздела сверху и снизу не зависят от расстояния от центра капли, т.е. что капля составлена из двух сегментов шаров разных радиусов $R_{1}$ и $R_{2}$, то объем масла равен примерно
$V = \frac{5 \pi r^{4}}{12} \left ( \frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{2} } \right )$.
Теперь можно сделать оценку для радиуса капли масла, когда она падала в воздухе:
$r_{0} = \sqrt[3]{ \frac{3V}{4 \pi}} = \sqrt[3]{ \frac{5}{16}r^{4} \left ( \frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{2} } \right ) } \approx 1,2 мм$.
Конечно, это не точное значение, но перед отрывом от кончика пипетки, из которой выдавливается масло, капля действительно имеет радиус порядка 1 мм.
Обратим внимание на то, что, в соответствии с проведенной оценкой объемов верхней и нижней частей капли, ниже уровня воды, совпадающего с краями масляного пятна, находится приблизительно 2/3 объема капли, плотность которой весьма близка к плотности воды. Поскольку такое равновесие возможно только в случае, если поверхность воды вблизи краев капли не является плоской, то в полученном решении обнаруживается другая - более сложная - задача: а какова настоящая форма поверхностей масла и какова форма поверхности воды вблизи масляного пятна? Ее заинтересованные читатели, возможно, будут решать самостоятельно.
