Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13483
2020-02-22 
В высокоскоростных газовых центрифугах, используемых для разделения изотопов урана $^{235} U$ и $^{238} U$, стенки цилиндрического сосуда радиусом $r = 0,1 м$ вращаются, имея линейную скорость $v = 500 м/с$. Газообразный гексафторид урана $UF_{6}$, молекулыы которого первоначально содержат $\rho_{1} = 99,3$% изотопа $^{238}U$ и $\rho_{2} = 0,7$% изотопа $^{235}U$, при температуре 300 К медленно прокачивают через центрифуги, отбирая одну часть газа из пристеночных областей, а другую часть - из области вблизи оси вращения. Газ, обогащенный изотопом $^{235}U$, пропускают через следующий каскад центрифуг, и так происходит вплоть до получения изотопного состава с 99,9% изотопа $^{235}U$ и 0,1% изотопа $^{238}U$. Сколько каскадов центрифуг должны стоять последовательно друг за другом, чтобы получить такой результат?
Решение:
При длительном вращении центрифуги с постоянной угловой скоростью внутри вращающегося сосуда устанавливается стационарное распределение концентраций молекул газа с разными массами. Это, естественно, не тепловое равновесное распределение, так как газ вместе со стенками сосуда вращается. Кинетическая энергия молекул газа, сталкивающихся со стенками, складывается из тепловой неупорядоченной составляющей $\frac{3kT}{2}$, где $k$ - постоянная Больцмана, $T$ - абсолютная температура, и из упорядоченной составляющей $\frac{mv^{2}}{2}$. Система отсчета, вращающаяся вместе с сосудом, неинерциальная, поэтому для сохранения возможности использования законов Ньютона нужно вводить центробежную силу инерции и, кроме того, для движущихся материальных точек - еще и силу Кориолиса. Кориолисова сила не изменяет кинетической энергии молекулы, поскольку всегда направлена перпендикулярно ее скорости. Следовательно, можно считать, что в сосуде имеется потенциальное поле сил инерции (центробежных сил). Потенциальная энергия молекул в этом поле вблизи оси вращения выше, чем вблизи стенок сосуда на величину $\frac{mv^{2}}{2}$. В соответствии с соотношением Больцмана, концентрации молекул вблизи оси вращения центрифуги $n_{0}$ и вблизи стенок $n_{c}$ при стационарном распределении отличаются друг от друга. Их отношение можно описать формулой
$\frac{n_{0} }{n_{c} } e^{ - \frac{ \frac{mv^{2} }{2} }{kT} }$.
Понятно, что вблизи оси вращения доля более легких молекул с массами $m_{1}$ изотопа $^{235}U$ немного больше, чем более тяжелых молекул с массами $m_{2}$ изотопа $^{238}U$. Отношение концентраций молекул, отбираемых из области вблизи оси вращения, выше, чем в смеси, поступающей в центрифугу, в
$\alpha = e^{ \frac{ \frac{(m_{2} - m_{1} )v^{2} }{2} }{kT} } \approx 1,162$ раза.
Для нахождения числа $N$ необходимых каскадов центрифуг нужно решить уравнение
$\alpha^{N} \rho_{2} = 999 \rho_{1}$.
Отсюда получаем $N = 79$.
В высокоскоростных газовых центрифугах, используемых для разделения изотопов урана $^{235} U$ и $^{238} U$, стенки цилиндрического сосуда радиусом $r = 0,1 м$ вращаются, имея линейную скорость $v = 500 м/с$. Газообразный гексафторид урана $UF_{6}$, молекулыы которого первоначально содержат $\rho_{1} = 99,3$% изотопа $^{238}U$ и $\rho_{2} = 0,7$% изотопа $^{235}U$, при температуре 300 К медленно прокачивают через центрифуги, отбирая одну часть газа из пристеночных областей, а другую часть - из области вблизи оси вращения. Газ, обогащенный изотопом $^{235}U$, пропускают через следующий каскад центрифуг, и так происходит вплоть до получения изотопного состава с 99,9% изотопа $^{235}U$ и 0,1% изотопа $^{238}U$. Сколько каскадов центрифуг должны стоять последовательно друг за другом, чтобы получить такой результат?
Решение:
При длительном вращении центрифуги с постоянной угловой скоростью внутри вращающегося сосуда устанавливается стационарное распределение концентраций молекул газа с разными массами. Это, естественно, не тепловое равновесное распределение, так как газ вместе со стенками сосуда вращается. Кинетическая энергия молекул газа, сталкивающихся со стенками, складывается из тепловой неупорядоченной составляющей $\frac{3kT}{2}$, где $k$ - постоянная Больцмана, $T$ - абсолютная температура, и из упорядоченной составляющей $\frac{mv^{2}}{2}$. Система отсчета, вращающаяся вместе с сосудом, неинерциальная, поэтому для сохранения возможности использования законов Ньютона нужно вводить центробежную силу инерции и, кроме того, для движущихся материальных точек - еще и силу Кориолиса. Кориолисова сила не изменяет кинетической энергии молекулы, поскольку всегда направлена перпендикулярно ее скорости. Следовательно, можно считать, что в сосуде имеется потенциальное поле сил инерции (центробежных сил). Потенциальная энергия молекул в этом поле вблизи оси вращения выше, чем вблизи стенок сосуда на величину $\frac{mv^{2}}{2}$. В соответствии с соотношением Больцмана, концентрации молекул вблизи оси вращения центрифуги $n_{0}$ и вблизи стенок $n_{c}$ при стационарном распределении отличаются друг от друга. Их отношение можно описать формулой
$\frac{n_{0} }{n_{c} } e^{ - \frac{ \frac{mv^{2} }{2} }{kT} }$.
Понятно, что вблизи оси вращения доля более легких молекул с массами $m_{1}$ изотопа $^{235}U$ немного больше, чем более тяжелых молекул с массами $m_{2}$ изотопа $^{238}U$. Отношение концентраций молекул, отбираемых из области вблизи оси вращения, выше, чем в смеси, поступающей в центрифугу, в
$\alpha = e^{ \frac{ \frac{(m_{2} - m_{1} )v^{2} }{2} }{kT} } \approx 1,162$ раза.
Для нахождения числа $N$ необходимых каскадов центрифуг нужно решить уравнение
$\alpha^{N} \rho_{2} = 999 \rho_{1}$.
Отсюда получаем $N = 79$.
