Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13482
2020-02-22 
Фигурку-грибок (см. рисунок), сделанную из сплошного материала плотностью $\rho = k \rho_{воды}$, поставили на горизонтальное дно бассейна и залепили пластилином щели между дном бассейна и основанием ножки грибка. Удерживая грибок на месте, залили воду в бассейн, при этом вода под грибок не затекла, а затем перестали удерживать грибок. Размеры фигурки таковы: радиус полусферы-шляпки, диаметр цилиндра, образующего ножку грибка, и выюота этого цилиндра равныы $R$ каждый. Уровень водыы в бассейне равен $NR$($N > 2$, т.е. грибок целиком находится под водой). С какой силой ножка грибка давит на дно бассейна? При каком максимальном значении $k$ грибок может всплыть? При каком значении $N$ грибок не всплывет никогда?
Решение:
Воспользуемся приемом, который физики называют "методом отверждения". Представим себе, что такой же по форме грибок, но из воды, находящийся на дне этого же бассейна рядом с рассматриваемым грибком, вдруг стал твердым и сохранил свою плотность. Очевидно, что этот грибок давит на дно бассейна с силой, равной $\rho_{воды} gNR \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2}$. Такая же по величине, но направления вверх сила действует со стороны дна на грибок. Масса водяного грибка равна произведению его объема (совпадающего с объемом настоящего грибка) на плотность воды:
$M_{воды} = \rho_{воды} \left ( \frac{2 \pi R^{3} }{3} + R \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} \right )$.
Водяной грибок находится в равновесии, поэтому сумма действующих на него сил равна нулю:
$M_{воды} g - F - \rho_{воды} gNR \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} = 0$.
Отсюда находим величину суммарной силы $F$, действующей на грибок (уже не очень важно на какой) со стороны окружающей его воды:
$F = \rho_{воды} \left ( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{N}{4} \right ) = \rho_{воды} g \pi R^{3} \frac{11 - 3N}{12}$.
Эта сила направлена вверх.
Теперь вернемся к нашему твердому грибку. Будем считать, что дно бассейна толкает грибок вверх, а грибок, соответственно, давит на дно с силой $f$, и если получим отрицательное значение этой силы, то грибок может всплыть, так как пластилин это не клей и удержать грибок на дне он не может. Рассмотрим условие равновесия грибка плотностью $\rho = k \rho_{воды}$. Сумма сил, действующих на него, должна быть равна нулю:
$k \rho_{воды}g \pi R^{3} \frac{11}{12} - \rho_{воды}g \pi R^{3} \left ( \frac{11}{12} - \frac{N}{4} \right ) - f = 0$.
Отсюда получаем
$f = \rho_{воды} g \pi R^{3} \left ( \frac{11}{12} (k - 1) + \frac{N}{4} \right )$.
Понятно, что максимальное значение $k$, при котором грибок еще может всплыть, будет достигнуто, если $N$ минимально. Подставим в полученную формулу $N = 2$ и найдем, что $k < \frac{5}{12}$. Значит,
$k_{max} = \frac{5}{12}$.
Далее, если даже $k = 0$, то при $N = \frac{11}{3}$ грибок никогда не всплывет.
Фигурку-грибок (см. рисунок), сделанную из сплошного материала плотностью $\rho = k \rho_{воды}$, поставили на горизонтальное дно бассейна и залепили пластилином щели между дном бассейна и основанием ножки грибка. Удерживая грибок на месте, залили воду в бассейн, при этом вода под грибок не затекла, а затем перестали удерживать грибок. Размеры фигурки таковы: радиус полусферы-шляпки, диаметр цилиндра, образующего ножку грибка, и выюота этого цилиндра равныы $R$ каждый. Уровень водыы в бассейне равен $NR$($N > 2$, т.е. грибок целиком находится под водой). С какой силой ножка грибка давит на дно бассейна? При каком максимальном значении $k$ грибок может всплыть? При каком значении $N$ грибок не всплывет никогда?
Решение:
Воспользуемся приемом, который физики называют "методом отверждения". Представим себе, что такой же по форме грибок, но из воды, находящийся на дне этого же бассейна рядом с рассматриваемым грибком, вдруг стал твердым и сохранил свою плотность. Очевидно, что этот грибок давит на дно бассейна с силой, равной $\rho_{воды} gNR \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2}$. Такая же по величине, но направления вверх сила действует со стороны дна на грибок. Масса водяного грибка равна произведению его объема (совпадающего с объемом настоящего грибка) на плотность воды:
$M_{воды} = \rho_{воды} \left ( \frac{2 \pi R^{3} }{3} + R \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} \right )$.
Водяной грибок находится в равновесии, поэтому сумма действующих на него сил равна нулю:
$M_{воды} g - F - \rho_{воды} gNR \pi \left ( \frac{R}{2} \right )^{2} = 0$.
Отсюда находим величину суммарной силы $F$, действующей на грибок (уже не очень важно на какой) со стороны окружающей его воды:
$F = \rho_{воды} \left ( \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{N}{4} \right ) = \rho_{воды} g \pi R^{3} \frac{11 - 3N}{12}$.
Эта сила направлена вверх.
Теперь вернемся к нашему твердому грибку. Будем считать, что дно бассейна толкает грибок вверх, а грибок, соответственно, давит на дно с силой $f$, и если получим отрицательное значение этой силы, то грибок может всплыть, так как пластилин это не клей и удержать грибок на дне он не может. Рассмотрим условие равновесия грибка плотностью $\rho = k \rho_{воды}$. Сумма сил, действующих на него, должна быть равна нулю:
$k \rho_{воды}g \pi R^{3} \frac{11}{12} - \rho_{воды}g \pi R^{3} \left ( \frac{11}{12} - \frac{N}{4} \right ) - f = 0$.
Отсюда получаем
$f = \rho_{воды} g \pi R^{3} \left ( \frac{11}{12} (k - 1) + \frac{N}{4} \right )$.
Понятно, что максимальное значение $k$, при котором грибок еще может всплыть, будет достигнуто, если $N$ минимально. Подставим в полученную формулу $N = 2$ и найдем, что $k < \frac{5}{12}$. Значит,
$k_{max} = \frac{5}{12}$.
Далее, если даже $k = 0$, то при $N = \frac{11}{3}$ грибок никогда не всплывет.
