Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13479
2020-02-22 
Монохроматический свет с длиной волны $\lambda = 0,5 мкм$ падает перпендикулярно на непрозрачную пластину, в которой прорезана длинная щель постоянной ширины $D = 0,1 мм \gg \lambda$. На экране, расположенном на расстоянии $L = 10 м \gg \frac{D^{2}}{ \lambda}$ параллельно пластине, видны дифракционные полосы разных порядков. Каково отношение интенсивностей/яркостей света в центрах полос для разных порядков $n$ и $m$? Считайте, что $1 \ll n < m \ll \frac{D}{ \lambda}$.
Решение:
Отношение интенсивностей / яркостей света равно квадрату отношения амплитуд напряженностей $E$ электрических полей в соответствующих местах поверхности экрана. Для оценки этого отношения воспользуемся принципом Гюйгенса-Френеля. Для этого мысленно разделим щель на множество полосок, расположенных вдоль всей щели и имеющих одинаковую и очень маленькую ширину, и будем суммировать вклады каждой полоски в общий вектор электрического поля в центре соответствующей дифракционной полосы. Поскольку в условии задачи дано ограничение $n < m \ll \frac{D}{ \lambda}$, то это означает, что дифракционные углы для этих полос малы, и тогда можно считать, что вклады каждой полоски в вектор $\vec{E}$ имеют одинаковую амплитуду, но разные фазы. Для дифракционной полосы нулевого порядка все фазы одинаковы, поэтому общая амплитуда электрического поля равна сумме всех амплитуд отдельных полосок (рис.). Обозначим ее через $E_{0}$.
Для первого минимума дифракционной картины вклады от каждой полоски с отличающимися фазами дают в сумме ноль. Это на рисунке выглядит как замкнутое кольцо, составленное из стрелочек, изображенных на рисунке, каждая из которых по отношению к предыдущей стрелочке поворачивается на малый угол. Суммарная длина всех стрелочек остается неизменной и равной $E_{0}$.
Максимум первого порядка получается в ситуации, когда все стрелочки, сложившись, дают картинку, на которой последняя стрелка повернулась по отношению к первой примерно на 1,5 оборота (на самом деле немного меньше: $\phi_{1} \approx 8,55$ рад). Максимум второго порядка соответствует картинке, на которой последняя стрелочка совершила примерно 2,5 оборота. Чем больше номер порядка дифракции, тем точнее выполняется условие $\phi_{n} = 2 \pi n + 1$. Формула для амплитуды вектора $E$ в максимуме $n$-го порядка будет такой:
$E_{n} \approx \frac{E_{0} }{(2n + 1) \pi}$,
при этом чем больше $n$, тем точнее выполняется эта формула. Отношение интенсивностей/яркостей света в центрах полос для разных порядков $n \gg 1$ и $m \gg 1$ будет равно
$\frac{W_{n} }{W_{m} } = \left ( \frac{E_{n} }{E_{m} } \right )^{2} = \left ( \frac{2m + 1}{2n + 1} \right )^{2}$.
Монохроматический свет с длиной волны $\lambda = 0,5 мкм$ падает перпендикулярно на непрозрачную пластину, в которой прорезана длинная щель постоянной ширины $D = 0,1 мм \gg \lambda$. На экране, расположенном на расстоянии $L = 10 м \gg \frac{D^{2}}{ \lambda}$ параллельно пластине, видны дифракционные полосы разных порядков. Каково отношение интенсивностей/яркостей света в центрах полос для разных порядков $n$ и $m$? Считайте, что $1 \ll n < m \ll \frac{D}{ \lambda}$.
Решение:
Отношение интенсивностей / яркостей света равно квадрату отношения амплитуд напряженностей $E$ электрических полей в соответствующих местах поверхности экрана. Для оценки этого отношения воспользуемся принципом Гюйгенса-Френеля. Для этого мысленно разделим щель на множество полосок, расположенных вдоль всей щели и имеющих одинаковую и очень маленькую ширину, и будем суммировать вклады каждой полоски в общий вектор электрического поля в центре соответствующей дифракционной полосы. Поскольку в условии задачи дано ограничение $n < m \ll \frac{D}{ \lambda}$, то это означает, что дифракционные углы для этих полос малы, и тогда можно считать, что вклады каждой полоски в вектор $\vec{E}$ имеют одинаковую амплитуду, но разные фазы. Для дифракционной полосы нулевого порядка все фазы одинаковы, поэтому общая амплитуда электрического поля равна сумме всех амплитуд отдельных полосок (рис.). Обозначим ее через $E_{0}$.
Для первого минимума дифракционной картины вклады от каждой полоски с отличающимися фазами дают в сумме ноль. Это на рисунке выглядит как замкнутое кольцо, составленное из стрелочек, изображенных на рисунке, каждая из которых по отношению к предыдущей стрелочке поворачивается на малый угол. Суммарная длина всех стрелочек остается неизменной и равной $E_{0}$.
Максимум первого порядка получается в ситуации, когда все стрелочки, сложившись, дают картинку, на которой последняя стрелка повернулась по отношению к первой примерно на 1,5 оборота (на самом деле немного меньше: $\phi_{1} \approx 8,55$ рад). Максимум второго порядка соответствует картинке, на которой последняя стрелочка совершила примерно 2,5 оборота. Чем больше номер порядка дифракции, тем точнее выполняется условие $\phi_{n} = 2 \pi n + 1$. Формула для амплитуды вектора $E$ в максимуме $n$-го порядка будет такой:
$E_{n} \approx \frac{E_{0} }{(2n + 1) \pi}$,
при этом чем больше $n$, тем точнее выполняется эта формула. Отношение интенсивностей/яркостей света в центрах полос для разных порядков $n \gg 1$ и $m \gg 1$ будет равно
$\frac{W_{n} }{W_{m} } = \left ( \frac{E_{n} }{E_{m} } \right )^{2} = \left ( \frac{2m + 1}{2n + 1} \right )^{2}$.
