Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13476
2020-02-22 
Воздушный шарик с тонкой резиновой оболочкой имеет в воздухе при температуре $0^{ \circ} С$ объем $V = 1 л$. Этот шарик опускают в глубокий сосуд с горячей водой при температуре $90^{ \circ} С$ на глубину $H = 2 м$. Какую максимальную и какую минимальную работу при таком перемещении может совершить при нагревании воздух, содержащийся в шарике? Температура газа не убывает, а глубина погружения шарика в воду не уменьшается. Давлением, создаваемым резиновыми стенками шарика, можно пренебречь, атмосферное давление нормальное: $p = 10^{5} Па$.
Решение:
Сначала переведем шкалу температур в шкалу Кельвина: $T_{н} = 0^{ \circ} С = 273 К , T_{к} = 90^{ \circ} С = 363 К$. В координатах $p, V$ начальное и конечное состояния шарика изображаются точками $p_{н}, V_{н}$ и $p_{к}, V_{к}$, где
$p_{к} = p_{н} + \rho gH = 1,2 p_{н}, V_{к} = \frac{ V_{н}T_{к}p_{н} }{T_{н}p_{к} } = 1,11 V_{н}$.
Здесь $\rho = 965,3 кг/м^{3}$ - плотность воды при $90^{ \circ} С$. При условии, что воздух в шарике не может охлаждаться, т.е. его температура не может уменьшаться, нужно выбрать такие "траектории" на плоскости $pV$, "пройдя" по которым газ совершит: а) самую большую работу; б) самую маленькую работу. Поскольку ничего, кроме шарика и сосуда с горячей водой, нет, то существуют только два возможных процесса: опускание шара на глубину (увеличение давления) и нагрев газа через стенки шарика от горячей воды. Эти два процесса могут проводиться в различной последовательности и за разные промежутки времени.
Случай а) получается, если шарик с воздухом при температуре $0^{ \circ} С$ сначала быстро опустили на глубину 2 м под воду и воздух в нем нагрелся за счет адиабатического сжатия до конечного давления и занял объем $0,71V_{н} = V_{н} \left ( \frac{p_{н}}{p_{к}} \right )^{1/ \gamma}$. Поскольку воздух двухатомный газ, $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}} = \frac{7}{5}$. А затем воздух медленно нагрелся изобарически до конечного значения объема. Красными линиями со стрелками на рисунке показаны соответствующие участки процесса. Площадь фигуры, закрашенной на рисунке синим цветом, пропорциональна максимальной работе газа.
Случай б) реализуется, если шарик сначала приведен в соприкосновение с горячей водой и медленно нагревается до конечной температуры изобарически при атмосферном давлении, при этом максимальный объем шарика равен $\frac{V_{н}T_{к}}{T_{н}} = 1,33V_{н}$. А затем медленно погружается в воду, при этом температура газа остается неизменной. Красными линиями со стрелками на рисунке показаны соответствующие участки процесса. Минимальная работа газа пропорциональна разнице площадей фигур зеленого и розового цветов.
Поскольку все точки полученных двух процессов на $pV$ - диаграмме находятся достаточно близко друг к другу, можно участки адиабатического и изотермического процессов считать почти прямыми линиями. Работы газа будут при этом такими:
$A_{min} \approx 8,8 Дж , A_{max} \approx 16,2 Дж$.
Воздушный шарик с тонкой резиновой оболочкой имеет в воздухе при температуре $0^{ \circ} С$ объем $V = 1 л$. Этот шарик опускают в глубокий сосуд с горячей водой при температуре $90^{ \circ} С$ на глубину $H = 2 м$. Какую максимальную и какую минимальную работу при таком перемещении может совершить при нагревании воздух, содержащийся в шарике? Температура газа не убывает, а глубина погружения шарика в воду не уменьшается. Давлением, создаваемым резиновыми стенками шарика, можно пренебречь, атмосферное давление нормальное: $p = 10^{5} Па$.
Решение:
Сначала переведем шкалу температур в шкалу Кельвина: $T_{н} = 0^{ \circ} С = 273 К , T_{к} = 90^{ \circ} С = 363 К$. В координатах $p, V$ начальное и конечное состояния шарика изображаются точками $p_{н}, V_{н}$ и $p_{к}, V_{к}$, где
$p_{к} = p_{н} + \rho gH = 1,2 p_{н}, V_{к} = \frac{ V_{н}T_{к}p_{н} }{T_{н}p_{к} } = 1,11 V_{н}$.
Здесь $\rho = 965,3 кг/м^{3}$ - плотность воды при $90^{ \circ} С$. При условии, что воздух в шарике не может охлаждаться, т.е. его температура не может уменьшаться, нужно выбрать такие "траектории" на плоскости $pV$, "пройдя" по которым газ совершит: а) самую большую работу; б) самую маленькую работу. Поскольку ничего, кроме шарика и сосуда с горячей водой, нет, то существуют только два возможных процесса: опускание шара на глубину (увеличение давления) и нагрев газа через стенки шарика от горячей воды. Эти два процесса могут проводиться в различной последовательности и за разные промежутки времени.
Случай а) получается, если шарик с воздухом при температуре $0^{ \circ} С$ сначала быстро опустили на глубину 2 м под воду и воздух в нем нагрелся за счет адиабатического сжатия до конечного давления и занял объем $0,71V_{н} = V_{н} \left ( \frac{p_{н}}{p_{к}} \right )^{1/ \gamma}$. Поскольку воздух двухатомный газ, $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}} = \frac{7}{5}$. А затем воздух медленно нагрелся изобарически до конечного значения объема. Красными линиями со стрелками на рисунке показаны соответствующие участки процесса. Площадь фигуры, закрашенной на рисунке синим цветом, пропорциональна максимальной работе газа.
Случай б) реализуется, если шарик сначала приведен в соприкосновение с горячей водой и медленно нагревается до конечной температуры изобарически при атмосферном давлении, при этом максимальный объем шарика равен $\frac{V_{н}T_{к}}{T_{н}} = 1,33V_{н}$. А затем медленно погружается в воду, при этом температура газа остается неизменной. Красными линиями со стрелками на рисунке показаны соответствующие участки процесса. Минимальная работа газа пропорциональна разнице площадей фигур зеленого и розового цветов.
Поскольку все точки полученных двух процессов на $pV$ - диаграмме находятся достаточно близко друг к другу, можно участки адиабатического и изотермического процессов считать почти прямыми линиями. Работы газа будут при этом такими:
$A_{min} \approx 8,8 Дж , A_{max} \approx 16,2 Дж$.
