Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13474
2020-02-22 
Шестеренчатый насос (см. рисунок) предназначен для перекачки масла под давлением и передачи мощности к гидравлическим механизмам. Число зубьев каждой шестерни $N = 10$, высота зубьев $h = 1 см$. Каждый зуб имеет форму, близкую к правильному (равностороннему) треугольнику. Ширина шестерен $L = 3 см$, расстояние $d$ от вершин зубьев до стенок корпуса весьма мало: $d = 10^{-4} м$. Шестерни вращаются с частотой $f = 25 Гц$. Считая масло несжимаемым, маловязким и имеющим плотность $\rho = 10^{3} кг/м^{3}$, найдите теоретическую максимальную мощность, которую может передать этот насос к потребителям (гидравлическим механизмам), а также теоретическую максимальную разницу давлений на выходе и на входе насоса.
Решение:
Если, например, левая шестерня вращается по часовой стрелке, то правая вращается против часовой стрелки, и масло из нижнего резервуара перекачивается в верхний порциями, которые находятся между зубьями шестерен и корпусом насоса в полостях - "карманах", объем каждого из которых равен примерно $\frac{Lh^{2}}{ \sqrt{3}}$. Радиус $R$ шестерен, т.е. расстояние от оси шестерни до вершин зубьев, равен примерно $R = \frac{hN}{ \pi \sqrt{3}}$. Скорость движения вершин зубьев равна
$v = 2 \pi fR = \frac{2fhN}{ \sqrt{3} }$.
В режиме "холостого хода", когда масло перекачивается без повышения давления, объем перекачиваемого масла в секунду (расход масла) равен
$G = \frac{2NfLh^{2}}{ \sqrt{3}}$.
Если насос работает с нагрузкой, то давление в верхнем резервуаре больше давления в нижнем резервуаре. Пусть эта разница давлений равна $p$. Предположим, что в месте сцепления зубьев шестерен никакого зазора нет. Тогда поток масла навстречу движению зубьев возникает только через узкие щели между корпусом и вершинами зубьев. В соответствии с данным рисунком насоса примерно половина вершин зубьев каждой из шестерен располагается на расстоянии $d$ от корпуса. Скорость движения масла в каждом из зазоров по отношению к соседним зубьям, т.е. $u_{отн}$, находится из условия
$\frac{( u_{отн})^{2} \rho}{2} = \frac{p}{N/2}$.
Когда обратный поток масла сравняется с потоком масла в прямом направлении, будет достигнута максимальная величина разницы давлений $p_{max}$, которую может создавать шестеренчатый насос. Иными словами,
$2( u_{отн} - v )dL = G$,
или
$2 \left ( \sqrt{ \frac{4 p_{max} }{ \rho N} } - \frac{2fhN}{ \sqrt{3} } \right ) dL = \frac{2NfLh^{2} }{ \sqrt{3} }$.
Поскольку $\frac{h}{d} \gg 2$, отсюда следует
$p_{max} \approx \frac{ \rho N^{3} f^{2} h^{4}}{12d^{2}} \approx 5 \cdot 10^{7} Па = 500 атм$.
Для нахождения максимальной мощности, которую может передавать такой насос потребителям, нужно найти экстремум функции давления
$W(p) = p \cdot 2L \left ( \frac{Nfh^{2} }{ \sqrt{3} } + \frac{2fhNd}{ \sqrt{3} } - \sqrt{ \frac{4p}{ \rho N} } d \right ) \approx p \cdot 2L \left ( \frac{Nfh^{2} }{ \sqrt{3} } \sqrt{ \frac{4p}{ \rho N} } d \right )$.
Экстремум достигается при давлении
$p \approx \left ( \frac{2}{3} \right )^{2} p_{max} \approx 220 атм$.
Этому соответствует теоретическая максимальная мощность
$W_{max} (p) \approx 11 кВт$.
При такой максимальной мощности, достающейся потребителям, и при таком давлении примерно такая же мощность теряется на нагрев масла и насоса, т.е. механический КПД насоса в этом режиме близок к 50 %. Поэтому реальные насосы работают на меньшем давлении - порядка 100 атм. В этом случае мощность немного меньше, а КПД насоса значительно выше.
Шестеренчатый насос (см. рисунок) предназначен для перекачки масла под давлением и передачи мощности к гидравлическим механизмам. Число зубьев каждой шестерни $N = 10$, высота зубьев $h = 1 см$. Каждый зуб имеет форму, близкую к правильному (равностороннему) треугольнику. Ширина шестерен $L = 3 см$, расстояние $d$ от вершин зубьев до стенок корпуса весьма мало: $d = 10^{-4} м$. Шестерни вращаются с частотой $f = 25 Гц$. Считая масло несжимаемым, маловязким и имеющим плотность $\rho = 10^{3} кг/м^{3}$, найдите теоретическую максимальную мощность, которую может передать этот насос к потребителям (гидравлическим механизмам), а также теоретическую максимальную разницу давлений на выходе и на входе насоса.
Решение:
Если, например, левая шестерня вращается по часовой стрелке, то правая вращается против часовой стрелки, и масло из нижнего резервуара перекачивается в верхний порциями, которые находятся между зубьями шестерен и корпусом насоса в полостях - "карманах", объем каждого из которых равен примерно $\frac{Lh^{2}}{ \sqrt{3}}$. Радиус $R$ шестерен, т.е. расстояние от оси шестерни до вершин зубьев, равен примерно $R = \frac{hN}{ \pi \sqrt{3}}$. Скорость движения вершин зубьев равна
$v = 2 \pi fR = \frac{2fhN}{ \sqrt{3} }$.
В режиме "холостого хода", когда масло перекачивается без повышения давления, объем перекачиваемого масла в секунду (расход масла) равен
$G = \frac{2NfLh^{2}}{ \sqrt{3}}$.
Если насос работает с нагрузкой, то давление в верхнем резервуаре больше давления в нижнем резервуаре. Пусть эта разница давлений равна $p$. Предположим, что в месте сцепления зубьев шестерен никакого зазора нет. Тогда поток масла навстречу движению зубьев возникает только через узкие щели между корпусом и вершинами зубьев. В соответствии с данным рисунком насоса примерно половина вершин зубьев каждой из шестерен располагается на расстоянии $d$ от корпуса. Скорость движения масла в каждом из зазоров по отношению к соседним зубьям, т.е. $u_{отн}$, находится из условия
$\frac{( u_{отн})^{2} \rho}{2} = \frac{p}{N/2}$.
Когда обратный поток масла сравняется с потоком масла в прямом направлении, будет достигнута максимальная величина разницы давлений $p_{max}$, которую может создавать шестеренчатый насос. Иными словами,
$2( u_{отн} - v )dL = G$,
или
$2 \left ( \sqrt{ \frac{4 p_{max} }{ \rho N} } - \frac{2fhN}{ \sqrt{3} } \right ) dL = \frac{2NfLh^{2} }{ \sqrt{3} }$.
Поскольку $\frac{h}{d} \gg 2$, отсюда следует
$p_{max} \approx \frac{ \rho N^{3} f^{2} h^{4}}{12d^{2}} \approx 5 \cdot 10^{7} Па = 500 атм$.
Для нахождения максимальной мощности, которую может передавать такой насос потребителям, нужно найти экстремум функции давления
$W(p) = p \cdot 2L \left ( \frac{Nfh^{2} }{ \sqrt{3} } + \frac{2fhNd}{ \sqrt{3} } - \sqrt{ \frac{4p}{ \rho N} } d \right ) \approx p \cdot 2L \left ( \frac{Nfh^{2} }{ \sqrt{3} } \sqrt{ \frac{4p}{ \rho N} } d \right )$.
Экстремум достигается при давлении
$p \approx \left ( \frac{2}{3} \right )^{2} p_{max} \approx 220 атм$.
Этому соответствует теоретическая максимальная мощность
$W_{max} (p) \approx 11 кВт$.
При такой максимальной мощности, достающейся потребителям, и при таком давлении примерно такая же мощность теряется на нагрев масла и насоса, т.е. механический КПД насоса в этом режиме близок к 50 %. Поэтому реальные насосы работают на меньшем давлении - порядка 100 атм. В этом случае мощность немного меньше, а КПД насоса значительно выше.
