Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13472
2020-02-22 
Два радиотелескопа, работающие синхронно на длине волны $\lambda = 3 см$, располагаются на расстоянии $L = 1000 км$ друг от друга. С помощью этих телескопов обнаружены две звезды, которые излучают в радиодиапазоне. Массы звезд одинаковы и равны массе Солнца. Звезды обращаются друг вокруг друга с периодом $T = 1$ год (двойная система). На каком максимальном расстоянии от Земли они могут находиться?
Решение:
Обозначим расстояние от звезды до звезды через $2r$. Тогда $r$ - это расстояние от каждой звезды до центра масс системы. Силы, действующие на звезды, равны
$F = G \frac{m^{2} }{4r^{2} }$
и направлены к центру масс системы. Согласно второму закону Ньютона,
$F = ma$.
Следовательно,
$a = \frac{Gm}{4r^{2} }$.
Каждая из звезд движется относительно центра масс системы, причем можно считать, что движение это происходит в поле центральной силы. Для такого движения справедливы законы Кеплера. В частности, выполняется третий закон, который связывает размеры большой полуоси эллипсоидальной траектории с периодом обращения:
$\frac{D^{3}}{T^{2} } = const$.
Максимальное расстояние между звездами
$R = 2D \cdot 2 = 4D$.
Это возможно, если эллипсы вырождаются почти в прямые отрезки. Найдем эти большие полуоси в частном случае, когда траектория каждой из звезд представляет собой окружность радиусом $D = r$. Тогда
$\frac{v^{2}}{r} = \frac{Gm}{r^{2} }$, и $\frac{r^{3}}{T^{2} } = \frac{1}{4} \frac{Gm}{4 \pi^{2} }$.
Для Земли, летающей вокруг Солнца (масса которого такая же, как у нашей звезды) на расстоянии $1 а.е. = 150 млн \: км$, период обращения тоже равен $T = 1$ год. И тоже выполняется третий закон Кеплера:
$\frac{(1 \: а.е.)^{3}}{(1 год)^{2} } = \frac{Gm}{4 \pi^{2} }$.
Отсюда находим
$r = \sqrt[3]{ \frac{1}{4}} \cdot 1 \: а.е. = 94,5 млн км$.
Тогда максимальное расстояние между звездами равно
$R = 4r = 378 млн \: км$.
При синхронной работе двух телескопов их "база" $L$ и длина волны $\lambda$, на которой они работают, определяют минимальное угловое расстояние $\alpha = \frac{ \lambda}{L}$ между светящимися объектами, при котором эти объекты различимы. Если расстояние $s$ от центра масс наших двух звезд до Земли больше $\frac{R}{ \alpha}$, то такие объекты невозможно различить. Следовательно, максимальное расстояние звезд от Земли равно
$s_{max} = \frac{RL}{ \lambda } = \frac{378 \cdot 106 км \cdot 1000 км}{3 \cdot 10^{-5} км } = 1,26 \cdot 10^{16} км$.
Это примерно 1330 световых лет.
Два радиотелескопа, работающие синхронно на длине волны $\lambda = 3 см$, располагаются на расстоянии $L = 1000 км$ друг от друга. С помощью этих телескопов обнаружены две звезды, которые излучают в радиодиапазоне. Массы звезд одинаковы и равны массе Солнца. Звезды обращаются друг вокруг друга с периодом $T = 1$ год (двойная система). На каком максимальном расстоянии от Земли они могут находиться?
Решение:
Обозначим расстояние от звезды до звезды через $2r$. Тогда $r$ - это расстояние от каждой звезды до центра масс системы. Силы, действующие на звезды, равны
$F = G \frac{m^{2} }{4r^{2} }$
и направлены к центру масс системы. Согласно второму закону Ньютона,
$F = ma$.
Следовательно,
$a = \frac{Gm}{4r^{2} }$.
Каждая из звезд движется относительно центра масс системы, причем можно считать, что движение это происходит в поле центральной силы. Для такого движения справедливы законы Кеплера. В частности, выполняется третий закон, который связывает размеры большой полуоси эллипсоидальной траектории с периодом обращения:
$\frac{D^{3}}{T^{2} } = const$.
Максимальное расстояние между звездами
$R = 2D \cdot 2 = 4D$.
Это возможно, если эллипсы вырождаются почти в прямые отрезки. Найдем эти большие полуоси в частном случае, когда траектория каждой из звезд представляет собой окружность радиусом $D = r$. Тогда
$\frac{v^{2}}{r} = \frac{Gm}{r^{2} }$, и $\frac{r^{3}}{T^{2} } = \frac{1}{4} \frac{Gm}{4 \pi^{2} }$.
Для Земли, летающей вокруг Солнца (масса которого такая же, как у нашей звезды) на расстоянии $1 а.е. = 150 млн \: км$, период обращения тоже равен $T = 1$ год. И тоже выполняется третий закон Кеплера:
$\frac{(1 \: а.е.)^{3}}{(1 год)^{2} } = \frac{Gm}{4 \pi^{2} }$.
Отсюда находим
$r = \sqrt[3]{ \frac{1}{4}} \cdot 1 \: а.е. = 94,5 млн км$.
Тогда максимальное расстояние между звездами равно
$R = 4r = 378 млн \: км$.
При синхронной работе двух телескопов их "база" $L$ и длина волны $\lambda$, на которой они работают, определяют минимальное угловое расстояние $\alpha = \frac{ \lambda}{L}$ между светящимися объектами, при котором эти объекты различимы. Если расстояние $s$ от центра масс наших двух звезд до Земли больше $\frac{R}{ \alpha}$, то такие объекты невозможно различить. Следовательно, максимальное расстояние звезд от Земли равно
$s_{max} = \frac{RL}{ \lambda } = \frac{378 \cdot 106 км \cdot 1000 км}{3 \cdot 10^{-5} км } = 1,26 \cdot 10^{16} км$.
Это примерно 1330 световых лет.
