Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13470
2020-02-22 
В воздухе при нормальных условиях ($T = 273 K, p = 10^{5} Па$) создано однородное электрическое поле с напряженностью $E$. Ионизация молекул воздуха происходит за счет космического излучения. Возникшие при ионизации свободные электроны долго путешествуют, прежде чем встретить на своем пути положительно заряженный ион и снова образовать нейтральную молекулу. Считая удары нейтральных молекул с электронами абсолютно упругими, найдите среднюю скорость упорядоченного движения электронов и среднюю скорость неупорядоченного хаотического движения электронов. Размер (диаметр) молекул воздуха $D \approx 0,3 нм$. Рассмотрите два случая: $E_{1} = 100 В/м, E_{2} = 10^{6} В/м$. При какой величине напряженности $E$ возникает электрический пробой в воздухе, если для гарантированной ионизации одной молекулы требуется энергия не меньше $w_{0} = 10 эВ$ и каждый из двух свободных электронов после ионизации молекулы должен иметь примерно такую же энергию?
Решение:
Средняя скорость неупорядоченного хаотического движения электронов $v$, по-видимому, будет значительно больше средней скорости теплового движения нейтральных молекул $v_{т}$. Это после вычислений нужно будет проверить. В таком случае для нахождения средней длины свободного пробега электронов можно считать нейтральные молекулы стоящими на месте. Концентрация молекул равна
$n = \frac{p}{kT}$.
В нашем предположении длина свободного пробега электронов равна
$\lambda = \frac{4}{ n \pi D^{2} } = \frac{4kT}{p \pi D^{2} } = 5,3 \cdot 10^{-7} м$.
После каждого удара электрона о нейтральную молекулу (движущуюся с очень малой скоростью) его скорость случайным образом меняет свое направление, а величина скорости уменьшается на некоторую свою долю. Связано это с тем, что массивная, в сравнении с электроном, нейтральная молекула после удара изменяет свою скорость и приобретает некую кинетическую энергию. Если скорость неупорядоченного хаотического движения электронов обозначить через $v$, а скорость дрейфа, т.е. упорядоченного движения, - через $u$, то между ними имеется такая связь:
$u = \frac{at}{2} = \frac{1}{2} \frac{Ee}{m} \frac{ \lambda }{m} = \frac{Ee \lambda }{2mv}$
(между ударами электрон движется с ускорением, направленным против электрического поля $E$). За время $t$ электрон в среднем переместится на расстояние $ut$, при этом электрическое поле совершит работу $Eeut$. При ударе о нейтральную покоящуюся молекулу массой $M$ электрон массой m может потерять от 0 до $\frac{4m}{M}$ доли своей кинетической энергии (при скользящем и при лобовом ударах соответственно). Если считать, что в среднем теряется примерно $\frac{2m}{M}$-я доля энергии, то среднюю скорость неупорядоченного хаотического движения электронов можно найти из закона сохранения энергии:
$Eeut = \frac{2m}{M} \frac{mv^{2} }{2}$, или $Ee \frac{Ee \lambda}{2mv} \frac{ \lambda }{v} = \frac{m^{2}v^{2} }{M}$, и $v = \sqrt[4]{ \frac{E^{2}e^{2} \lambda^{2} M }{2m^{3} } }$.
При $E = E_{1} = 100 Б/м$ $v = 21 км/с$ и $u = 130 м/с$.
При $E = E_{2} = 10^{6} Б/м$ $v = 2100 км/с$ и $u = 13 км/с$.
Масса молекулы во много раз больше массы электрона, поэтому скорость упорядоченного движения электронов гораздо меньше скорости их хаотического движения. Сравним эти скорости со средней скоростью теплового движения молекул воздуха
$v_{т} = \sqrt{ \frac{3RT}{M} } = 480 м/с$.
Видно, что наше предположение о том, что скорость хаотического движения электронов больше тепловых скоростей движения молекул, оказалось верным. Однако останавливаться пока рано. Найдем скорость теплового движения электронов (свободных частиц) при заданной температуре. Поскольку масса электрона меньше массы молекулы воздуха примерно в $2000 \cdot 29$ раз, скорость электронов больше скорости молекул в $\sqrt{ 2000 \cdot 29}$ раз и составляет
$v_{тэл} = 110 км/с$.
Таким образом, за счет теплового движения молекул, которые толкают в разные стороны свободные электроны, их скорости оказываются больше 21 км/с. Следовательно, именно величину 110 км/с и надо считать ответом для случая, когда $E = 100 В/м$. Тогда скорость упорядоченного движения электронов в этом случае будет меньше:
$u = \frac{Ee \lambda }{2mv_{тэл} } = 25 м/с$.
Средняя кинетическая энергия, которую приобретают электроны при напряженности электрического поля $E$, равна
$w = Ee \lambda \sqrt{ \frac{M}{8m} }$.
Чтобы произошла ионизация воздуха, эта энергия должна быть больше энергии ионизации в три раза:
$w = 3w_{0}$.
Отсюда следует, что электрическое поле должно иметь напряженность
$E > \frac{3w_{0} }{e \lambda } = \sqrt{ \frac{8m}{M} } = 2,3 \cdot 10^{6} В/м$.
Значение пробойной напряженности поля для воздуха в справочнике составляет $3 \cdot 10^{6} В/м$. Таким образом, результат расчетов весьма близок к экспериментальным данным.
В воздухе при нормальных условиях ($T = 273 K, p = 10^{5} Па$) создано однородное электрическое поле с напряженностью $E$. Ионизация молекул воздуха происходит за счет космического излучения. Возникшие при ионизации свободные электроны долго путешествуют, прежде чем встретить на своем пути положительно заряженный ион и снова образовать нейтральную молекулу. Считая удары нейтральных молекул с электронами абсолютно упругими, найдите среднюю скорость упорядоченного движения электронов и среднюю скорость неупорядоченного хаотического движения электронов. Размер (диаметр) молекул воздуха $D \approx 0,3 нм$. Рассмотрите два случая: $E_{1} = 100 В/м, E_{2} = 10^{6} В/м$. При какой величине напряженности $E$ возникает электрический пробой в воздухе, если для гарантированной ионизации одной молекулы требуется энергия не меньше $w_{0} = 10 эВ$ и каждый из двух свободных электронов после ионизации молекулы должен иметь примерно такую же энергию?
Решение:
Средняя скорость неупорядоченного хаотического движения электронов $v$, по-видимому, будет значительно больше средней скорости теплового движения нейтральных молекул $v_{т}$. Это после вычислений нужно будет проверить. В таком случае для нахождения средней длины свободного пробега электронов можно считать нейтральные молекулы стоящими на месте. Концентрация молекул равна
$n = \frac{p}{kT}$.
В нашем предположении длина свободного пробега электронов равна
$\lambda = \frac{4}{ n \pi D^{2} } = \frac{4kT}{p \pi D^{2} } = 5,3 \cdot 10^{-7} м$.
После каждого удара электрона о нейтральную молекулу (движущуюся с очень малой скоростью) его скорость случайным образом меняет свое направление, а величина скорости уменьшается на некоторую свою долю. Связано это с тем, что массивная, в сравнении с электроном, нейтральная молекула после удара изменяет свою скорость и приобретает некую кинетическую энергию. Если скорость неупорядоченного хаотического движения электронов обозначить через $v$, а скорость дрейфа, т.е. упорядоченного движения, - через $u$, то между ними имеется такая связь:
$u = \frac{at}{2} = \frac{1}{2} \frac{Ee}{m} \frac{ \lambda }{m} = \frac{Ee \lambda }{2mv}$
(между ударами электрон движется с ускорением, направленным против электрического поля $E$). За время $t$ электрон в среднем переместится на расстояние $ut$, при этом электрическое поле совершит работу $Eeut$. При ударе о нейтральную покоящуюся молекулу массой $M$ электрон массой m может потерять от 0 до $\frac{4m}{M}$ доли своей кинетической энергии (при скользящем и при лобовом ударах соответственно). Если считать, что в среднем теряется примерно $\frac{2m}{M}$-я доля энергии, то среднюю скорость неупорядоченного хаотического движения электронов можно найти из закона сохранения энергии:
$Eeut = \frac{2m}{M} \frac{mv^{2} }{2}$, или $Ee \frac{Ee \lambda}{2mv} \frac{ \lambda }{v} = \frac{m^{2}v^{2} }{M}$, и $v = \sqrt[4]{ \frac{E^{2}e^{2} \lambda^{2} M }{2m^{3} } }$.
При $E = E_{1} = 100 Б/м$ $v = 21 км/с$ и $u = 130 м/с$.
При $E = E_{2} = 10^{6} Б/м$ $v = 2100 км/с$ и $u = 13 км/с$.
Масса молекулы во много раз больше массы электрона, поэтому скорость упорядоченного движения электронов гораздо меньше скорости их хаотического движения. Сравним эти скорости со средней скоростью теплового движения молекул воздуха
$v_{т} = \sqrt{ \frac{3RT}{M} } = 480 м/с$.
Видно, что наше предположение о том, что скорость хаотического движения электронов больше тепловых скоростей движения молекул, оказалось верным. Однако останавливаться пока рано. Найдем скорость теплового движения электронов (свободных частиц) при заданной температуре. Поскольку масса электрона меньше массы молекулы воздуха примерно в $2000 \cdot 29$ раз, скорость электронов больше скорости молекул в $\sqrt{ 2000 \cdot 29}$ раз и составляет
$v_{тэл} = 110 км/с$.
Таким образом, за счет теплового движения молекул, которые толкают в разные стороны свободные электроны, их скорости оказываются больше 21 км/с. Следовательно, именно величину 110 км/с и надо считать ответом для случая, когда $E = 100 В/м$. Тогда скорость упорядоченного движения электронов в этом случае будет меньше:
$u = \frac{Ee \lambda }{2mv_{тэл} } = 25 м/с$.
Средняя кинетическая энергия, которую приобретают электроны при напряженности электрического поля $E$, равна
$w = Ee \lambda \sqrt{ \frac{M}{8m} }$.
Чтобы произошла ионизация воздуха, эта энергия должна быть больше энергии ионизации в три раза:
$w = 3w_{0}$.
Отсюда следует, что электрическое поле должно иметь напряженность
$E > \frac{3w_{0} }{e \lambda } = \sqrt{ \frac{8m}{M} } = 2,3 \cdot 10^{6} В/м$.
Значение пробойной напряженности поля для воздуха в справочнике составляет $3 \cdot 10^{6} В/м$. Таким образом, результат расчетов весьма близок к экспериментальным данным.
