Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13467
2020-02-22 
Над идеальным одноатомным газом совершают циклический процесс 1-2-3-4-1, график которого изображен на $pV$-диаграмме (см. рисунок). Минимальным объем газа равен $V_{0}$, а максимальный - в $n$ раз больше. Участки 2-3 и 4-1 - изохоры, участок 3-4 - адиабата, а участок 1-2 получен из участка 3-4 сдвигом на отрезок длиной $p_{0}$ вверх вдоль оси давления. Определите количества теплоты, полученные или отданный на участках 1-2, 2-3, 4-1, а также КПД этого цикла.
Решение:
На изохорных участках 4-1 и 2-3 получаемое или отдаваемое газом количество теплоты идет только на изменение его внутренней энергии
$U = \frac{3}{2} \nu RT = \frac{3}{2} pV$.
При этом на участке 4-1 получаемое количество теплоты положительно, а на участке 2-3 - отрицательно:
$Q_{41} = \Delta \left ( \frac{3}{2} pV \right ) = \frac{3}{2} p_{0}V_{0}$,
$Q_{23} = - \frac{3}{2} np_{0}V_{0}$.
Обозначим зависимость давления от объема на адиабате 3-4 как
$p = p_{ц}(V)$.
Тогда, по условию, участок 1-2 задается уравнением
$p = p_{a} + p_{0}$.
Получаемое при расширении на малый объем $\Delta V$ на этом участке количество теплоты $\Delta Q$ идет на изменение внутренней энергии $\Delta (pV)$ и на совершение работы $p \Delta V$:
$\Delta Q = \Delta \left ( \frac{3}{2} (p_{0} + p_{a} ) V \right ) + ( p_{0} + p_{a} ) \Delta V = \frac{5}{2} (p_{0} + p_{a} ) \Delta V + \frac{3}{2} \Delta p_{a} V$.
Поскольку получаемое при расширении на малый объем $\Delta V$ на адиабате количество теплоты, равное $\frac{5}{2}p_{a} \Delta V + \frac{3}{2} \Delta p_{a} V$, обращается в ноль, имеем
$\Delta Q = \frac{5}{2} p_{0} \Delta V$.
Таким образом, полное полученное на участке 1-2 количество теплоты равно
$Q_{12} = \frac{5}{2} p_{0} (n - 1)V_{0}$.
Общее количество теплоты, полученное от нагревателей, равно
$Q_{+} = Q_{12} + Q_{41} = \frac{5}{2} p_{0} (n - 1) V_{0} + \frac{3}{2}p_{0}V_{0}$,
а холодильникам было отдано количество теплоты
$Q_{-} = | Q_{23}| = \frac{3}{2} np_{0}V_{0}$.
Следовательно, КПД цикла равен
$\eta = 1 - \frac{Q_{-}}{Q_{+} } = 1 - \frac{ \frac{3}{2} np_{0}V_{0} }{ \frac{5}{2}p_{0}(n - 1)V_{0} + \frac{3}{2} p_{0}V_{0} } = \frac{n - 1}{ \frac{5}{2}n - 1 }$.
Над идеальным одноатомным газом совершают циклический процесс 1-2-3-4-1, график которого изображен на $pV$-диаграмме (см. рисунок). Минимальным объем газа равен $V_{0}$, а максимальный - в $n$ раз больше. Участки 2-3 и 4-1 - изохоры, участок 3-4 - адиабата, а участок 1-2 получен из участка 3-4 сдвигом на отрезок длиной $p_{0}$ вверх вдоль оси давления. Определите количества теплоты, полученные или отданный на участках 1-2, 2-3, 4-1, а также КПД этого цикла.
Решение:
На изохорных участках 4-1 и 2-3 получаемое или отдаваемое газом количество теплоты идет только на изменение его внутренней энергии
$U = \frac{3}{2} \nu RT = \frac{3}{2} pV$.
При этом на участке 4-1 получаемое количество теплоты положительно, а на участке 2-3 - отрицательно:
$Q_{41} = \Delta \left ( \frac{3}{2} pV \right ) = \frac{3}{2} p_{0}V_{0}$,
$Q_{23} = - \frac{3}{2} np_{0}V_{0}$.
Обозначим зависимость давления от объема на адиабате 3-4 как
$p = p_{ц}(V)$.
Тогда, по условию, участок 1-2 задается уравнением
$p = p_{a} + p_{0}$.
Получаемое при расширении на малый объем $\Delta V$ на этом участке количество теплоты $\Delta Q$ идет на изменение внутренней энергии $\Delta (pV)$ и на совершение работы $p \Delta V$:
$\Delta Q = \Delta \left ( \frac{3}{2} (p_{0} + p_{a} ) V \right ) + ( p_{0} + p_{a} ) \Delta V = \frac{5}{2} (p_{0} + p_{a} ) \Delta V + \frac{3}{2} \Delta p_{a} V$.
Поскольку получаемое при расширении на малый объем $\Delta V$ на адиабате количество теплоты, равное $\frac{5}{2}p_{a} \Delta V + \frac{3}{2} \Delta p_{a} V$, обращается в ноль, имеем
$\Delta Q = \frac{5}{2} p_{0} \Delta V$.
Таким образом, полное полученное на участке 1-2 количество теплоты равно
$Q_{12} = \frac{5}{2} p_{0} (n - 1)V_{0}$.
Общее количество теплоты, полученное от нагревателей, равно
$Q_{+} = Q_{12} + Q_{41} = \frac{5}{2} p_{0} (n - 1) V_{0} + \frac{3}{2}p_{0}V_{0}$,
а холодильникам было отдано количество теплоты
$Q_{-} = | Q_{23}| = \frac{3}{2} np_{0}V_{0}$.
Следовательно, КПД цикла равен
$\eta = 1 - \frac{Q_{-}}{Q_{+} } = 1 - \frac{ \frac{3}{2} np_{0}V_{0} }{ \frac{5}{2}p_{0}(n - 1)V_{0} + \frac{3}{2} p_{0}V_{0} } = \frac{n - 1}{ \frac{5}{2}n - 1 }$.
