Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13465
2020-02-22 
Какую минимальную по величине скорость по отношению к поверхности Земли нужно сообщить космическому аппарату, находящемуся уже вне атмосферы Земли на высоте 200 км над ее экватором, чтобы он не только навсегда покинул Землю, но и улетел навсегда от Солнца, пролетев далеко от всех других планет солнечной системы? Радиус Земли $R = 6400 км$. Расстояние от Земли до Солнца $L = 150 млн \: км$. Орбиту Земли считайте круговой.
Решение:
Длительность суток можно выразить в секундах:
$t = 24 \cdot 3600 c = 86400 c$.
Легко вычислить скорость центра Земли при ее движении по отношению к Солнцу:
$v_{0} = \frac{2 \pi L}{T} = 29,865 км/с \approx 30 км/с$
(здесь $T = 365,25t$ = длительность года в секундах). Можно также вычислить скорость движения точек на экваторе Земли по отношению к системе отсчета, в которой центр Земли покоится и оси координат направлены на далекие звезды (не на Солнце):
$v = \frac{2 \pi R}{t} = 0,465 км/с$.
Кроме того, известно, как найти первую космическую скорость для корабля, находящегося на высоте $h$ над поверхностью Земли:
$v_{1} = \sqrt{ \frac{gR^{2}}{R + h}} = 7,8 км/с \approx 8 км/с$.
Гравитационные поля подчиняются принципу суперпозиции, поэтому, когда корабль массой $m$ находится в поле тяжести и Солнца и Земли (на расстоянии $R + h$ от ее центра), то его потенциальная энергия равна взятой со знаком минус сумме $mv_{0}^{2} + mv_{1}^{2}$. Это легко показать, рассмотрев движение Земли вокруг Солнца и полет космического аппарата по низкой орбите вокруг Земли. Если в системе отсчета Коперника (центр Солнца неподвижен и оси координат направлены от центра Солнца на далекие звезды) корабль будет иметь такую скорость, что сумма его кинетической энергии -положительной - и его потенциальной энергии - отрицательной - будет больше нуля, то такой корабль с неработающими двигателями имеет возможность улететь за пределы солнечной системы, пролетев на больших расстояниях от всех других планет. Земля в своем движении вокруг Солнца сообщает кораблю скорость $v_{0}$, это - "переносная" скорость. Если корабль уже удалился достаточно далеко от Земли и находится от Солнца на таком же расстоянии, как Земля, то ему по отношению к Земле достаточно иметь скорость $( \sqrt{2} - 1) v_{0} = 12,4 км/с$, направленную так же, как и скорость центра Земли по отношению к Солнцу, чтобы корабль навсегда покинул солнечную систему. За счет суточного вращения Земли корабль, запущенный в полночь с экватора, получает еще дополнительную скорость $v$. Следовательно, для нахождения нужной скорости $v_{3}$ - третьей космической скорости - по отношению к поверхности Земли в месте старта нужно решить уравнение
$\frac{m(v + v_{3})^{2}}{2} - mv_{1}^{2} = \frac{m ( \sqrt{2} - 1)^{2} v_{0}^{2} }{2}$, или $(v + v_{3} )^{2} = 2v_{1}^{2} + ( \sqrt{2} - 1 )^{2} v_{0}^{2}$.
Отсюда получаем
$v_{3} = 16,11 км/с$.
(Если считать приближенно $v_{0} = 30 км/с$ и $v_{1} = 8 км/с$, то ответ получается 16,34 км/с.)
Какую минимальную по величине скорость по отношению к поверхности Земли нужно сообщить космическому аппарату, находящемуся уже вне атмосферы Земли на высоте 200 км над ее экватором, чтобы он не только навсегда покинул Землю, но и улетел навсегда от Солнца, пролетев далеко от всех других планет солнечной системы? Радиус Земли $R = 6400 км$. Расстояние от Земли до Солнца $L = 150 млн \: км$. Орбиту Земли считайте круговой.
Решение:
Длительность суток можно выразить в секундах:
$t = 24 \cdot 3600 c = 86400 c$.
Легко вычислить скорость центра Земли при ее движении по отношению к Солнцу:
$v_{0} = \frac{2 \pi L}{T} = 29,865 км/с \approx 30 км/с$
(здесь $T = 365,25t$ = длительность года в секундах). Можно также вычислить скорость движения точек на экваторе Земли по отношению к системе отсчета, в которой центр Земли покоится и оси координат направлены на далекие звезды (не на Солнце):
$v = \frac{2 \pi R}{t} = 0,465 км/с$.
Кроме того, известно, как найти первую космическую скорость для корабля, находящегося на высоте $h$ над поверхностью Земли:
$v_{1} = \sqrt{ \frac{gR^{2}}{R + h}} = 7,8 км/с \approx 8 км/с$.
Гравитационные поля подчиняются принципу суперпозиции, поэтому, когда корабль массой $m$ находится в поле тяжести и Солнца и Земли (на расстоянии $R + h$ от ее центра), то его потенциальная энергия равна взятой со знаком минус сумме $mv_{0}^{2} + mv_{1}^{2}$. Это легко показать, рассмотрев движение Земли вокруг Солнца и полет космического аппарата по низкой орбите вокруг Земли. Если в системе отсчета Коперника (центр Солнца неподвижен и оси координат направлены от центра Солнца на далекие звезды) корабль будет иметь такую скорость, что сумма его кинетической энергии -положительной - и его потенциальной энергии - отрицательной - будет больше нуля, то такой корабль с неработающими двигателями имеет возможность улететь за пределы солнечной системы, пролетев на больших расстояниях от всех других планет. Земля в своем движении вокруг Солнца сообщает кораблю скорость $v_{0}$, это - "переносная" скорость. Если корабль уже удалился достаточно далеко от Земли и находится от Солнца на таком же расстоянии, как Земля, то ему по отношению к Земле достаточно иметь скорость $( \sqrt{2} - 1) v_{0} = 12,4 км/с$, направленную так же, как и скорость центра Земли по отношению к Солнцу, чтобы корабль навсегда покинул солнечную систему. За счет суточного вращения Земли корабль, запущенный в полночь с экватора, получает еще дополнительную скорость $v$. Следовательно, для нахождения нужной скорости $v_{3}$ - третьей космической скорости - по отношению к поверхности Земли в месте старта нужно решить уравнение
$\frac{m(v + v_{3})^{2}}{2} - mv_{1}^{2} = \frac{m ( \sqrt{2} - 1)^{2} v_{0}^{2} }{2}$, или $(v + v_{3} )^{2} = 2v_{1}^{2} + ( \sqrt{2} - 1 )^{2} v_{0}^{2}$.
Отсюда получаем
$v_{3} = 16,11 км/с$.
(Если считать приближенно $v_{0} = 30 км/с$ и $v_{1} = 8 км/с$, то ответ получается 16,34 км/с.)
