Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13460
2020-02-22 
На горизонтальной шероховатой поверхности находится маленькая плоская шайба. Коэффициент трения шайбы о поверхность $\mu = 0,5$. Если подействовать на покоившуюся шайбу постоянной горизонтальной силой $F = 10 Н$, то шайба будет двигаться по поверхности прямолинейно и поступательно с ускорением $a = \mu g = 5 м/с^{2}$. Какой минимальной по модулю силой можно заставить эту же шайбу двигаться поступательно по той же горизонтальной поверхности с ускорением, равным по модулю $a$?
Решение:
В условии задачи есть подсказка: "с ускорением, равным по модулю...", т.е. движение не обязательно прямолинейное. Поэтому придется сравнить минимальные величины сил для прямолинейного и криволинейного движений. Понятно, что минимальная по модулю сила должна быть направлена не горизонтально. Будем решать задачу в двух вариантах. 1) Сначала приложим к шайбе такую минимальную силу, при которой шайба будет скользить по поверхности с постоянной скоростью, а затем изменим горизонтальную составляющую этой силы так, чтобы шайба двигалась по поверхности по окружности с ускорением, равным по модулю $a$. 2) Найдем минимальную силу, которая нужна, чтобы выполнить условие задачи при прямолинейном движении шайбы.
Из условия задачи следует, что выполняется равенство
$ma = F - \mu mg$.
Значит, масса шайбы равна
$m = \frac{F}{a + \mu g} = 1 кг$.
1) Направим силу $\vec{f}$, приложенную к шайбе, под некоторым углом $\beta$ к горизонту. Найдем минимальное значение этой силы, при котором шайба будет двигаться с постоянной скоростью. В проекциях на горизонтальное и вертикальное направления уравнение равномерного движения шайбы имеет вид
$f \cos \beta = \mu N$ и $mg = f \sin \beta + N$,
где $N$ - сила нормальной реакции поверхности. Отсюда находим
$f = \frac{ \mu mg}{ \cos \beta + \mu \sin \beta }$.
Минимальное значение модуля силы $f$, обеспечивающей равномерное движение, достигается при угле $\beta = arctg \mu$ и равно
$f_{min} = \frac{ \mu mg}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } } \approx 4,47 Н$.
Для того чтобы шайба двигалась поступательно с ускорением, равным по модулю $a$, нужно, чтобы горизонтальная проекция суммы всех сил, действующих на шайбу, была равна $ma$. Но такое движение вовсе не обязано быть прямолинейным. Например, можно заставить шайбу двигаться поступательно по окружности радиусом $R$ с некоторой постоянной по величине скоростью $v$ и при этом обеспечить равенство $\frac{v^{2}}{R} = a$. В этом случае минимальная сила, с которой нужно действовать на шайбу, равна по величине
$f_{min}^{ \prime} = \sqrt{(ma)^{2} + f_{min}^{2}} \approx 6,71 Н$.
2) Теперь рассмотрим прямолинейное движение шайбы с нужным по величине ускорением. В проекциях на горизонтальное и вертикальное направления уравнение движения шайбы примет вид
$f_{1} \cos \beta - \mu N = ma$ и $mg = f_{1} \sin \beta + N$.
Отсюда получаем
$f_{1} = \frac{m( \mu g + a)}{ \cos \beta + \mu \sin \beta}$.
Минимальное значение силы достигается при таком угле $\beta$, что $tg \beta = \mu$, и равно
$f_{min1} = \frac{m( \mu g + a)}{ \sqrt{ 1 + \mu^{2} } } \approx 8,94 Н$.
Полученные результаты говорят сами за себя.
На горизонтальной шероховатой поверхности находится маленькая плоская шайба. Коэффициент трения шайбы о поверхность $\mu = 0,5$. Если подействовать на покоившуюся шайбу постоянной горизонтальной силой $F = 10 Н$, то шайба будет двигаться по поверхности прямолинейно и поступательно с ускорением $a = \mu g = 5 м/с^{2}$. Какой минимальной по модулю силой можно заставить эту же шайбу двигаться поступательно по той же горизонтальной поверхности с ускорением, равным по модулю $a$?
Решение:
В условии задачи есть подсказка: "с ускорением, равным по модулю...", т.е. движение не обязательно прямолинейное. Поэтому придется сравнить минимальные величины сил для прямолинейного и криволинейного движений. Понятно, что минимальная по модулю сила должна быть направлена не горизонтально. Будем решать задачу в двух вариантах. 1) Сначала приложим к шайбе такую минимальную силу, при которой шайба будет скользить по поверхности с постоянной скоростью, а затем изменим горизонтальную составляющую этой силы так, чтобы шайба двигалась по поверхности по окружности с ускорением, равным по модулю $a$. 2) Найдем минимальную силу, которая нужна, чтобы выполнить условие задачи при прямолинейном движении шайбы.
Из условия задачи следует, что выполняется равенство
$ma = F - \mu mg$.
Значит, масса шайбы равна
$m = \frac{F}{a + \mu g} = 1 кг$.
1) Направим силу $\vec{f}$, приложенную к шайбе, под некоторым углом $\beta$ к горизонту. Найдем минимальное значение этой силы, при котором шайба будет двигаться с постоянной скоростью. В проекциях на горизонтальное и вертикальное направления уравнение равномерного движения шайбы имеет вид
$f \cos \beta = \mu N$ и $mg = f \sin \beta + N$,
где $N$ - сила нормальной реакции поверхности. Отсюда находим
$f = \frac{ \mu mg}{ \cos \beta + \mu \sin \beta }$.
Минимальное значение модуля силы $f$, обеспечивающей равномерное движение, достигается при угле $\beta = arctg \mu$ и равно
$f_{min} = \frac{ \mu mg}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } } \approx 4,47 Н$.
Для того чтобы шайба двигалась поступательно с ускорением, равным по модулю $a$, нужно, чтобы горизонтальная проекция суммы всех сил, действующих на шайбу, была равна $ma$. Но такое движение вовсе не обязано быть прямолинейным. Например, можно заставить шайбу двигаться поступательно по окружности радиусом $R$ с некоторой постоянной по величине скоростью $v$ и при этом обеспечить равенство $\frac{v^{2}}{R} = a$. В этом случае минимальная сила, с которой нужно действовать на шайбу, равна по величине
$f_{min}^{ \prime} = \sqrt{(ma)^{2} + f_{min}^{2}} \approx 6,71 Н$.
2) Теперь рассмотрим прямолинейное движение шайбы с нужным по величине ускорением. В проекциях на горизонтальное и вертикальное направления уравнение движения шайбы примет вид
$f_{1} \cos \beta - \mu N = ma$ и $mg = f_{1} \sin \beta + N$.
Отсюда получаем
$f_{1} = \frac{m( \mu g + a)}{ \cos \beta + \mu \sin \beta}$.
Минимальное значение силы достигается при таком угле $\beta$, что $tg \beta = \mu$, и равно
$f_{min1} = \frac{m( \mu g + a)}{ \sqrt{ 1 + \mu^{2} } } \approx 8,94 Н$.
Полученные результаты говорят сами за себя.
