Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1346
2016-10-21 
Цилиндр радиусом $R$ с зеркальной внутренней поверхностью закреплён на столе в вертикальном положении. Внутри цилиндра находится поворотный столик, на котором вблизи поверхности цилиндра расположены маленький источник монохроматического света частотой $f$ и рядом с ним — приёмник света. Источник испускает два узких луча, которые попадают в приёмник после двух отражений от стенок цилиндра, причём один идёт по часовой стрелке, а другой навстречу ему (см. рисунок). При этом оба луча приходят к приёмнику в одной фазе. Пусть теперь столик приходит во вращение с угловой скоростью $\Omega$. Найдите сдвиг фаз $\Delta \phi$ между первым и вторым лучами.
Решение:
Разность фаз набегает за счёт двух эффектов.
(а) Благодаря эффекту Допплера частота световой волны, идущей в направлении вращения столика, увеличивается, а частота световой волны, идущей в противоположном направлении — уменьшается. Поскольку угол между направлением светового луча и скоростью источника равен $\pi /3$, для изменения частоты волны, идущей по направлению движения источника имеем:
$\Delta \omega_{1} = \omega \frac{v}{c} \cos \frac{ \pi}{3} = \frac{ \omega v}{2c}$.
Здесь $v = \Omega R$ — скорость источника, $\omega = 2 \pi f$ — круговая частота световой волны. Аналогично для световой волны, идущей против направления движения источника, получаем:
$\Delta \omega_{2} = - \frac{ \omega v}{2c}$.
Таким образом, за счёт эффекта Допплера набегает разность фаз
$\Delta \phi_{1} = ( \Delta \omega_{1} - \Delta \omega_{2})t = \omega \frac{v}{c} t$,
где $t = 3R \sqrt{3}/c$ — время, за которое свет доходит от источника к приёмнику.
(б) Благодаря вращению системы длины путей, которые проходят световые волны, различны (см. рис.). Обозначим угловое расстояние между источником «И» во время испускания света и приёмником «П» во время приёма световой волны через $\alpha$. Кроме того, введем вспомогательные углы $\beta = \frac{2 \pi - \alpha}{3}$ и $\gamma = \frac{2 \pi + \alpha}{3}$. Очевидно, что $\alpha \approx vt/R \ll 1$. Длина пути для волны, испущенной в направлении вращения, равна
$S_{1} = 3 \cdot 2R \sin \frac{ \gamma}{2} = 6R \sin \left ( \frac{ \pi}{3} + \frac{ \alpha}{6} \right )$.
Для волны, идущей в противоположном направлении, длина пути равна
$S_{2} = 3 \cdot 2R \sin \frac{ \beta}{2} = 6R \sin \left ( \frac{ \pi}{3} - \frac{ \alpha}{6} \right )$.
Поэтому разность длин путей для первой и второй волн равна
$\Delta S = S_{1} - S_{2} = 6R \sin \frac{ \alpha}{6} \approx R \alpha \approx vt$.
За счёт этого набегает дополнительная разность фаз
$\Delta \phi_{2} = \omega \frac{ \Delta S}{c} \approx \omega \frac{v}{c} t$.
Обе разности фаз $\Delta \phi_{1}$ и $\Delta \phi_{2}$ имеют одинаковый знак и поэтому складываются:
$\Delta \phi_{sum} = \Delta \phi_{1} + \Delta \phi_{2} = 2 \omega \frac{v}{c}t = \frac{4 \pi f \Omega R}{c} \cdot \frac{3R \sqrt{3}}{c} = \frac{12 \pi \sqrt{3} \cdot f \Omega R^{2}}{c^{2}}$.
Цилиндр радиусом $R$ с зеркальной внутренней поверхностью закреплён на столе в вертикальном положении. Внутри цилиндра находится поворотный столик, на котором вблизи поверхности цилиндра расположены маленький источник монохроматического света частотой $f$ и рядом с ним — приёмник света. Источник испускает два узких луча, которые попадают в приёмник после двух отражений от стенок цилиндра, причём один идёт по часовой стрелке, а другой навстречу ему (см. рисунок). При этом оба луча приходят к приёмнику в одной фазе. Пусть теперь столик приходит во вращение с угловой скоростью $\Omega$. Найдите сдвиг фаз $\Delta \phi$ между первым и вторым лучами.
Решение:
Разность фаз набегает за счёт двух эффектов.
(а) Благодаря эффекту Допплера частота световой волны, идущей в направлении вращения столика, увеличивается, а частота световой волны, идущей в противоположном направлении — уменьшается. Поскольку угол между направлением светового луча и скоростью источника равен $\pi /3$, для изменения частоты волны, идущей по направлению движения источника имеем:
$\Delta \omega_{1} = \omega \frac{v}{c} \cos \frac{ \pi}{3} = \frac{ \omega v}{2c}$.
Здесь $v = \Omega R$ — скорость источника, $\omega = 2 \pi f$ — круговая частота световой волны. Аналогично для световой волны, идущей против направления движения источника, получаем:
$\Delta \omega_{2} = - \frac{ \omega v}{2c}$.
Таким образом, за счёт эффекта Допплера набегает разность фаз
$\Delta \phi_{1} = ( \Delta \omega_{1} - \Delta \omega_{2})t = \omega \frac{v}{c} t$,
где $t = 3R \sqrt{3}/c$ — время, за которое свет доходит от источника к приёмнику.
(б) Благодаря вращению системы длины путей, которые проходят световые волны, различны (см. рис.). Обозначим угловое расстояние между источником «И» во время испускания света и приёмником «П» во время приёма световой волны через $\alpha$. Кроме того, введем вспомогательные углы $\beta = \frac{2 \pi - \alpha}{3}$ и $\gamma = \frac{2 \pi + \alpha}{3}$. Очевидно, что $\alpha \approx vt/R \ll 1$. Длина пути для волны, испущенной в направлении вращения, равна
$S_{1} = 3 \cdot 2R \sin \frac{ \gamma}{2} = 6R \sin \left ( \frac{ \pi}{3} + \frac{ \alpha}{6} \right )$.
Для волны, идущей в противоположном направлении, длина пути равна
$S_{2} = 3 \cdot 2R \sin \frac{ \beta}{2} = 6R \sin \left ( \frac{ \pi}{3} - \frac{ \alpha}{6} \right )$.
Поэтому разность длин путей для первой и второй волн равна
$\Delta S = S_{1} - S_{2} = 6R \sin \frac{ \alpha}{6} \approx R \alpha \approx vt$.
За счёт этого набегает дополнительная разность фаз
$\Delta \phi_{2} = \omega \frac{ \Delta S}{c} \approx \omega \frac{v}{c} t$.
Обе разности фаз $\Delta \phi_{1}$ и $\Delta \phi_{2}$ имеют одинаковый знак и поэтому складываются:
$\Delta \phi_{sum} = \Delta \phi_{1} + \Delta \phi_{2} = 2 \omega \frac{v}{c}t = \frac{4 \pi f \Omega R}{c} \cdot \frac{3R \sqrt{3}}{c} = \frac{12 \pi \sqrt{3} \cdot f \Omega R^{2}}{c^{2}}$.
