Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13458
2020-02-22 
Внутри сферической колбы с внутренним диаметром $D = 8 см$ находится разреженный газ, состоящий из одинаковых молекул. Каково среднее значение расстояния от центра колбы до молекул газа (гравитацией можно пренебречь)?
Решение:
Выделим маленький телесный угол $\Omega$ с вершиной в центре колбы. В объеме колбы, ограниченном этим телесным углом, находится много молекул с одинаковыми массами, которые распределены по объему равномерно. Найдем положение центра масс этого выделенного объема:
$\bar{R} = \frac{m \sum \bar{R}_{k}}{mk} = \frac{ \sum \bar{R}_{k} }{k}$.
Все векторы начинаются в центре колбы и при малом значении телесного угла почти совпадают по направлению. Таким образом, центр масс этого участка объема находится как раз на среднем расстоянии от центра колбы до всех молекул. При удалении от центра колбы на $x$ и смещении на $\Delta x$ к объему добавляется порция $\Omega x^{2} \Delta x$. Вклад этой порции объема в сумму $\frac{ \sum \bar{R}_{k} }{k}$ равен $\frac{ \Omega x^{3} \Delta x }{V}$. Просуммировав (проинтегрировав) все вклады на всех интервалах от $x = 0$ до $x = \frac{D}{2}$, получим $\frac{ \Omega \left ( \frac{D}{2} \right )^{4}}{4V}$. Объем выделенной части равен $\frac{ \Omega \left ( \frac{D}{2} \right )^{3} }{3}$, следовательно, среднее расстояние от центра до молекул в шаре (колбе) равно
$R_{ср} = \frac{3}{4} \frac{D}{2} = \frac{3D}{8} = 3 см$.
Внутри сферической колбы с внутренним диаметром $D = 8 см$ находится разреженный газ, состоящий из одинаковых молекул. Каково среднее значение расстояния от центра колбы до молекул газа (гравитацией можно пренебречь)?
Решение:
Выделим маленький телесный угол $\Omega$ с вершиной в центре колбы. В объеме колбы, ограниченном этим телесным углом, находится много молекул с одинаковыми массами, которые распределены по объему равномерно. Найдем положение центра масс этого выделенного объема:
$\bar{R} = \frac{m \sum \bar{R}_{k}}{mk} = \frac{ \sum \bar{R}_{k} }{k}$.
Все векторы начинаются в центре колбы и при малом значении телесного угла почти совпадают по направлению. Таким образом, центр масс этого участка объема находится как раз на среднем расстоянии от центра колбы до всех молекул. При удалении от центра колбы на $x$ и смещении на $\Delta x$ к объему добавляется порция $\Omega x^{2} \Delta x$. Вклад этой порции объема в сумму $\frac{ \sum \bar{R}_{k} }{k}$ равен $\frac{ \Omega x^{3} \Delta x }{V}$. Просуммировав (проинтегрировав) все вклады на всех интервалах от $x = 0$ до $x = \frac{D}{2}$, получим $\frac{ \Omega \left ( \frac{D}{2} \right )^{4}}{4V}$. Объем выделенной части равен $\frac{ \Omega \left ( \frac{D}{2} \right )^{3} }{3}$, следовательно, среднее расстояние от центра до молекул в шаре (колбе) равно
$R_{ср} = \frac{3}{4} \frac{D}{2} = \frac{3D}{8} = 3 см$.
