Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13454
2020-02-22 
Кольцо радиусом $R$ однородно заряжено зарядом $Q$. Бусинка c тем же по знаку зарядом $q$ может свободно скользить по тонкой спице, совпадающей с диаметром кольца. Найдите период $T$ малых колебаний бусинки относительно положения равновесия. Масса бусинки $m$. Кольцо закреплено.
Решение:
Для определения зависимости напряженности электрического поля $E$ от расстояния $r$ до центра кольца вблизи центра кольца воспользуемся теоремой Гаусса: поток вектора напряженности $\vec{E}$ через поверхность соосного с кольцом цилиндра с радиусом основания $r$ и высотой $h$ ($r,h \ll R$) равен нулю. Найдем по отдельности величины потоков через основания и через боковую поверхность цилиндра:
$\Phi_{осн} = 2k \frac{Q}{R^{2} + \frac{h^{2} }{4} } \frac{ \frac{h}{2} }{ \sqrt{R^{2} + \frac{h^{2} }{4} } } \pi r^{2} \approx 2k \frac{Qh}{R^{2} \cdot 2R } \pi r^{2} = k \frac{Q}{R^{3} } \pi r^{2} h$,
$\Phi_{бок} = 2 \pi rh E(r)$
(для определенности $Q, q > 0$). Суммарный поток равен нулю:
$\Phi_{осн} + \Phi_{бок} = 0$.
Отсюда получаем
$E(r) = - k \frac{Q}{2R^{3} } r$
- при смещении из центра в плоскости кольца напряженность поля пропорциональна смещению и направлена к оси кольца.
Теперь запишем уравнение движения бусинки:
$mr^{ \prime \prime} = - k \frac{Q}{2R^{3} } qr$
и найдем частоту и период ее гармонических колебаний:
$\omega = \sqrt{ k \frac{Qq}{2R^{3}m } }, T = \frac{2 \pi}{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2R^{3}m }{kQq} }$.
Кольцо радиусом $R$ однородно заряжено зарядом $Q$. Бусинка c тем же по знаку зарядом $q$ может свободно скользить по тонкой спице, совпадающей с диаметром кольца. Найдите период $T$ малых колебаний бусинки относительно положения равновесия. Масса бусинки $m$. Кольцо закреплено.
Решение:
Для определения зависимости напряженности электрического поля $E$ от расстояния $r$ до центра кольца вблизи центра кольца воспользуемся теоремой Гаусса: поток вектора напряженности $\vec{E}$ через поверхность соосного с кольцом цилиндра с радиусом основания $r$ и высотой $h$ ($r,h \ll R$) равен нулю. Найдем по отдельности величины потоков через основания и через боковую поверхность цилиндра:
$\Phi_{осн} = 2k \frac{Q}{R^{2} + \frac{h^{2} }{4} } \frac{ \frac{h}{2} }{ \sqrt{R^{2} + \frac{h^{2} }{4} } } \pi r^{2} \approx 2k \frac{Qh}{R^{2} \cdot 2R } \pi r^{2} = k \frac{Q}{R^{3} } \pi r^{2} h$,
$\Phi_{бок} = 2 \pi rh E(r)$
(для определенности $Q, q > 0$). Суммарный поток равен нулю:
$\Phi_{осн} + \Phi_{бок} = 0$.
Отсюда получаем
$E(r) = - k \frac{Q}{2R^{3} } r$
- при смещении из центра в плоскости кольца напряженность поля пропорциональна смещению и направлена к оси кольца.
Теперь запишем уравнение движения бусинки:
$mr^{ \prime \prime} = - k \frac{Q}{2R^{3} } qr$
и найдем частоту и период ее гармонических колебаний:
$\omega = \sqrt{ k \frac{Qq}{2R^{3}m } }, T = \frac{2 \pi}{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2R^{3}m }{kQq} }$.
