Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13452
2020-02-22 
При подведении количества теплоты $Q = 600 Дж$ к смеси гелия и азота при постоянном объеме смесь нагревается на $\Delta t_{1} = 15 К$, а если то же количество теплоты подвести к тому же количеству той же смеси при постоянном давлении, температура смеси повысится на $\Delta t_{2} =10 К$. Найдите отношение числа молекул азота к числу молекул гелия в смеси.
Решение:
Первое решение. Теплоемкости всей смеси при постоянном объеме и при постоянном давлении равны, соответственно,
$C_{V} = \frac{600 Дж}{15 К} = 40 Дж/К, C_{p} = \frac{600 Дж}{10 К} = 60 Дж/К$
и
$C_{p} - C_{V} = 20 Дж/К$.
Так как отношение $\frac{C_{V} }{C_{p} - C_{V} } = 2$ не зависит от количества вещества и для одного моля любого идеального газа $c_{p} - c_{V} = R$, молярная теплоемкость смеси при постоянном объеме равна
$c_{V} = 2R$
.
Пусть на одну молекулу гелия в смеси приходится х молекул азота. Тогда в одном моле смеси содержится $\frac{1}{1 + x}$ молей гелия и $\frac{x}{1 + x}$ молей азота. Внутренняя энергия моля смеси равна
$U = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{3}{2} RT + \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{5}{2} RT = \frac{3 + 5x}{2(1 + x)}RT$,
откуда находим
$c_{V} = \frac{U}{T} = \frac{3 + 5x}{2(1 + x)}R$.
Решив уравнение
$\frac{3 + 5x}{2(1 + x)} = 2$,
получим
$x = 1$.
Второе решение. Поскольку $C_{p} - C_{V} = 20 Дж/К$, количество молей частиц в смеси газов равно
$\nu = \frac{C_{p} - C_{V}}{R} \approx 2,4$ моль.
Если бы весь газ состоял только из гелия, то теплоемкость при постоянном объеме была бы равна $\nu R \cdot \frac{3}{2} = 30 Дж/К$. А если бы весь газ был только азотом, то теплоемкость при постоянном объеме была бы равна $\nu R \cdot \frac{5}{2} = 50 Дж/К$. На самом деле эта теплоемкость равна 40 Дж/К. Пусть число молей гелия равно $X$, а число молей азота - соответственно, $(2,4 - X)$. Уравнение
$X \frac{3}{2} R + (2,4 - X) \frac{5}{2}R = 4,8R$
имеет решение
$X = 1,2 моль$.
Следовательно, искомое отношение равно 1.
При подведении количества теплоты $Q = 600 Дж$ к смеси гелия и азота при постоянном объеме смесь нагревается на $\Delta t_{1} = 15 К$, а если то же количество теплоты подвести к тому же количеству той же смеси при постоянном давлении, температура смеси повысится на $\Delta t_{2} =10 К$. Найдите отношение числа молекул азота к числу молекул гелия в смеси.
Решение:
Первое решение. Теплоемкости всей смеси при постоянном объеме и при постоянном давлении равны, соответственно,
$C_{V} = \frac{600 Дж}{15 К} = 40 Дж/К, C_{p} = \frac{600 Дж}{10 К} = 60 Дж/К$
и
$C_{p} - C_{V} = 20 Дж/К$.
Так как отношение $\frac{C_{V} }{C_{p} - C_{V} } = 2$ не зависит от количества вещества и для одного моля любого идеального газа $c_{p} - c_{V} = R$, молярная теплоемкость смеси при постоянном объеме равна
$c_{V} = 2R$
.
Пусть на одну молекулу гелия в смеси приходится х молекул азота. Тогда в одном моле смеси содержится $\frac{1}{1 + x}$ молей гелия и $\frac{x}{1 + x}$ молей азота. Внутренняя энергия моля смеси равна
$U = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{3}{2} RT + \frac{x}{1 + x} \cdot \frac{5}{2} RT = \frac{3 + 5x}{2(1 + x)}RT$,
откуда находим
$c_{V} = \frac{U}{T} = \frac{3 + 5x}{2(1 + x)}R$.
Решив уравнение
$\frac{3 + 5x}{2(1 + x)} = 2$,
получим
$x = 1$.
Второе решение. Поскольку $C_{p} - C_{V} = 20 Дж/К$, количество молей частиц в смеси газов равно
$\nu = \frac{C_{p} - C_{V}}{R} \approx 2,4$ моль.
Если бы весь газ состоял только из гелия, то теплоемкость при постоянном объеме была бы равна $\nu R \cdot \frac{3}{2} = 30 Дж/К$. А если бы весь газ был только азотом, то теплоемкость при постоянном объеме была бы равна $\nu R \cdot \frac{5}{2} = 50 Дж/К$. На самом деле эта теплоемкость равна 40 Дж/К. Пусть число молей гелия равно $X$, а число молей азота - соответственно, $(2,4 - X)$. Уравнение
$X \frac{3}{2} R + (2,4 - X) \frac{5}{2}R = 4,8R$
имеет решение
$X = 1,2 моль$.
Следовательно, искомое отношение равно 1.
