Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13450
2020-02-22 
Барон Мюнхгаузен верхом на пушке завис неподвижно относительно Солнца где-то между Марсом и Юпитером. Используя законы Кеплера, помогите барону определить, в каком направлении ему необходимо выстрелить, чтобы период обращения ядра вокруг Солнца был: а) минимален; б) максимален. Чему равны эти периоды, если расстояние r0 от барона до Солнца в $\alpha = 4$ раза больше радиуса орбиты Земли ( $r_{0} = \alpha R_{з}, R_{з} = 1 \: a.e. = 150 \: млн \: км$), а начальная скорость ядра $v_{0}$ в $\beta = 2$ раза меньше скорости Земли ( $v_{0} = \frac{v_{з}}{ \beta}, v_{з} = 30 км/c$)? Считайте ядро и Солнце точками, взаимодействующими по закону всемирного тяготения. Ядро на Солнце не падает. Влияние планет на движение ядра не учитывать.
Решение:
Согласно третьему закону Кеплера, квадрат отношения периодов обращения планет равен кубу отношения больших полуосей. Поэтому нахождение орбиты с
максимальным периодом сводится к нахождению орбиты с максимальной большой полуосью $a$.
По второму закону Кеплера скорость заметания площади радиусом-вектором постоянна. 3а малое время $\Delta t$ эта площадь равна (см. рисунок)
$\Delta S = \frac{1}{2} v \Delta t \cdot r \sin \alpha$,
откуда получаем, что величина
$l = vr \sin \alpha$ (1)
при движении ядра остается постоянной. В частности, для моментов минимального (точка Р) и максимального (точка А) удаления ядра от Солнца имеем
$l = v_{1}r_{1} = v_{2}r_{2}$.
Кроме того, по закону сохранения энергии
$E = \frac{mv^{2} }{2} - G \frac{mM}{r} = const$
остается постоянной величина
$\epsilon = \frac{E}{m} = \frac{v^{2} }{2} - G \frac{M}{r}$, (2)
представляющая собой полную энергию, приходящуюся на единицу массы ядра. Для эллиптической орбиты $\epsilon < 0$.
Подставив выражение (1) в формулу (2) и положив $\sin \alpha = 1$, что выполняется только в точках А и Р, получим уравнение, корнями которого должны быть $r_{1}$ и $r_{2}$:
$\epsilon = \frac{l^{2} }{2r^{2} } - G \frac{M}{r}$, или $r^{2} + \frac{GM}{ \epsilon } r - \frac{l^{2} }{2 \epsilon} = 0$.
По теореме Виета сумма корней этого уравнения, $r_{1} + r_{2} = 2a$ равна $- \frac{GM}{ \epsilon}$, откуда для большой полуоси получаем (напоминаем, что $\epsilon < 0$ )
$a = - \frac{GM}{2 \epsilon }$. (3)
Этот результат означает, что большая полуось орбиты, а с ней и период, полностью определяются энергией ядра, поэтому период обращения не зависит от направления начальной скорости.
Теперь найдем этот период. Сравним по третьему закону Кеплера орбиты 3емли и ядра, для чего приравняем удельные энергии $\epsilon$, выраженные из равенств (2) и (3):
$\frac{v^{2}}{2} - \frac{GM}{r} = - \frac{GM}{2a}$.
Для 3емли:
$\frac{v_{з}^{2} }{2} - \frac{GM}{R_{з} } = - \frac{GM}{2R_{з} }$, или $v_{з}^{2} = \frac{GM}{R_{з}}$.
Для ядра:
$\frac{v^{2}}{2} - \frac{GM}{r} = - \frac{GM}{2a}, \frac{v_{з}^{2}}{ 2 \beta^{2} } - \frac{GM}{ \alpha R_{з} } = - \frac{GM}{2a}$,
$\frac{GM}{2 \beta^{2} R_{з} } - \frac{GM}{ \alpha R_{з} } = - \frac{GM}{2a}, \frac{1}{ \alpha R_{з} } = \frac{2}{ \alpha R_{з} } - \frac{1}{ \beta^{2} R_{з} }$,
Для отношения периодов получаем
$\frac{T}{T_{з} } = \left ( \frac{a}{R_{з} } \right )^{3/2} = \left ( \frac{2}{ \alpha} - \frac{1}{ \beta^{2} } \right )^{-3/2}$,
откуда находим
$T = T_{з} \left ( \frac{2}{ \alpha} - \frac{1}{ \beta^{2} } \right )^{-3/2} = T_{з} \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right )^{-3/2} \approx 8$ лет
Барон Мюнхгаузен верхом на пушке завис неподвижно относительно Солнца где-то между Марсом и Юпитером. Используя законы Кеплера, помогите барону определить, в каком направлении ему необходимо выстрелить, чтобы период обращения ядра вокруг Солнца был: а) минимален; б) максимален. Чему равны эти периоды, если расстояние r0 от барона до Солнца в $\alpha = 4$ раза больше радиуса орбиты Земли ( $r_{0} = \alpha R_{з}, R_{з} = 1 \: a.e. = 150 \: млн \: км$), а начальная скорость ядра $v_{0}$ в $\beta = 2$ раза меньше скорости Земли ( $v_{0} = \frac{v_{з}}{ \beta}, v_{з} = 30 км/c$)? Считайте ядро и Солнце точками, взаимодействующими по закону всемирного тяготения. Ядро на Солнце не падает. Влияние планет на движение ядра не учитывать.
Решение:
Согласно третьему закону Кеплера, квадрат отношения периодов обращения планет равен кубу отношения больших полуосей. Поэтому нахождение орбиты с
максимальным периодом сводится к нахождению орбиты с максимальной большой полуосью $a$.
По второму закону Кеплера скорость заметания площади радиусом-вектором постоянна. 3а малое время $\Delta t$ эта площадь равна (см. рисунок)
$\Delta S = \frac{1}{2} v \Delta t \cdot r \sin \alpha$,
откуда получаем, что величина
$l = vr \sin \alpha$ (1)
при движении ядра остается постоянной. В частности, для моментов минимального (точка Р) и максимального (точка А) удаления ядра от Солнца имеем
$l = v_{1}r_{1} = v_{2}r_{2}$.
Кроме того, по закону сохранения энергии
$E = \frac{mv^{2} }{2} - G \frac{mM}{r} = const$
остается постоянной величина
$\epsilon = \frac{E}{m} = \frac{v^{2} }{2} - G \frac{M}{r}$, (2)
представляющая собой полную энергию, приходящуюся на единицу массы ядра. Для эллиптической орбиты $\epsilon < 0$.
Подставив выражение (1) в формулу (2) и положив $\sin \alpha = 1$, что выполняется только в точках А и Р, получим уравнение, корнями которого должны быть $r_{1}$ и $r_{2}$:
$\epsilon = \frac{l^{2} }{2r^{2} } - G \frac{M}{r}$, или $r^{2} + \frac{GM}{ \epsilon } r - \frac{l^{2} }{2 \epsilon} = 0$.
По теореме Виета сумма корней этого уравнения, $r_{1} + r_{2} = 2a$ равна $- \frac{GM}{ \epsilon}$, откуда для большой полуоси получаем (напоминаем, что $\epsilon < 0$ )
$a = - \frac{GM}{2 \epsilon }$. (3)
Этот результат означает, что большая полуось орбиты, а с ней и период, полностью определяются энергией ядра, поэтому период обращения не зависит от направления начальной скорости.
Теперь найдем этот период. Сравним по третьему закону Кеплера орбиты 3емли и ядра, для чего приравняем удельные энергии $\epsilon$, выраженные из равенств (2) и (3):
$\frac{v^{2}}{2} - \frac{GM}{r} = - \frac{GM}{2a}$.
Для 3емли:
$\frac{v_{з}^{2} }{2} - \frac{GM}{R_{з} } = - \frac{GM}{2R_{з} }$, или $v_{з}^{2} = \frac{GM}{R_{з}}$.
Для ядра:
$\frac{v^{2}}{2} - \frac{GM}{r} = - \frac{GM}{2a}, \frac{v_{з}^{2}}{ 2 \beta^{2} } - \frac{GM}{ \alpha R_{з} } = - \frac{GM}{2a}$,
$\frac{GM}{2 \beta^{2} R_{з} } - \frac{GM}{ \alpha R_{з} } = - \frac{GM}{2a}, \frac{1}{ \alpha R_{з} } = \frac{2}{ \alpha R_{з} } - \frac{1}{ \beta^{2} R_{з} }$,
Для отношения периодов получаем
$\frac{T}{T_{з} } = \left ( \frac{a}{R_{з} } \right )^{3/2} = \left ( \frac{2}{ \alpha} - \frac{1}{ \beta^{2} } \right )^{-3/2}$,
откуда находим
$T = T_{з} \left ( \frac{2}{ \alpha} - \frac{1}{ \beta^{2} } \right )^{-3/2} = T_{з} \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right )^{-3/2} \approx 8$ лет
