Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13449
2020-02-22 
Маленький массивный шарик закреплен на конце легкого жесткого стержня длиной $R$, другой конец которого прикреплен к неподвижному шарниру. Трение в шарнире отсутствует. Шарик со стержнем движутся по инерции так, что траектория движения шарика - это окружность, лежащая в вертикальной плоскости. На прохождение нижней половины окружности шарик затрачивает 49% времени оборота, а на прохождение верхней половины окружности - 51%. Чему равен период обращения?
Решение:
Механическая энергия при таком движении шарика сохраняется. Пусть скорость шарика при прохождении положения, когда стержень горизонтален, равна $v$. Тогда угловая скорость стержня в моменты времени, когда шарик выше центра окружности, по которой он движется, и стержень составляет с горизонтом угол $\phi$, равна
$\omega_{в} = \frac{ \sqrt{v^{2} - 2 gR \sin \phi } }{R}$
На прохождение верхней половины траектории нужно время
$t_{в} = 2 \int_{0}^{ \pi /2} \frac{ d \phi}{ \omega_{в} } 2 \int_{0}^{ \pi /2} \frac{R}{ \sqrt{v^{2} - 2gR \sin \phi } } d \phi$.
Аналогично, на прохождение нижней половины траектории нужно время
$t_{н} = 2 \int_{0}^{ \pi /2} \frac{R}{ \sqrt{v^{2} + 2gR \sin \phi } } d \phi$.
Поскольку по условию задачи эти времена отличаются мало, можно упростить:
$t_{в} \approx \frac{ \pi R}{v} \left ( 1 + \frac{2gR}{ \pi v^{2}} \right ), t_{н} \approx \frac{ \pi R}{v} \left ( 1 - \frac{2gR}{ \pi v^{2} } \right )$.
Отсюда следует, что $\frac{2gR}{ \pi v^{2} } = \frac{1}{50}$, или $v = 10 \sqrt{ \frac{gR}{ \pi} }$. Тогда период обращения шарика будет равен
$T \approx \frac{2 \pi R}{v} \approx 1,1 \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
Маленький массивный шарик закреплен на конце легкого жесткого стержня длиной $R$, другой конец которого прикреплен к неподвижному шарниру. Трение в шарнире отсутствует. Шарик со стержнем движутся по инерции так, что траектория движения шарика - это окружность, лежащая в вертикальной плоскости. На прохождение нижней половины окружности шарик затрачивает 49% времени оборота, а на прохождение верхней половины окружности - 51%. Чему равен период обращения?
Решение:
Механическая энергия при таком движении шарика сохраняется. Пусть скорость шарика при прохождении положения, когда стержень горизонтален, равна $v$. Тогда угловая скорость стержня в моменты времени, когда шарик выше центра окружности, по которой он движется, и стержень составляет с горизонтом угол $\phi$, равна
$\omega_{в} = \frac{ \sqrt{v^{2} - 2 gR \sin \phi } }{R}$
На прохождение верхней половины траектории нужно время
$t_{в} = 2 \int_{0}^{ \pi /2} \frac{ d \phi}{ \omega_{в} } 2 \int_{0}^{ \pi /2} \frac{R}{ \sqrt{v^{2} - 2gR \sin \phi } } d \phi$.
Аналогично, на прохождение нижней половины траектории нужно время
$t_{н} = 2 \int_{0}^{ \pi /2} \frac{R}{ \sqrt{v^{2} + 2gR \sin \phi } } d \phi$.
Поскольку по условию задачи эти времена отличаются мало, можно упростить:
$t_{в} \approx \frac{ \pi R}{v} \left ( 1 + \frac{2gR}{ \pi v^{2}} \right ), t_{н} \approx \frac{ \pi R}{v} \left ( 1 - \frac{2gR}{ \pi v^{2} } \right )$.
Отсюда следует, что $\frac{2gR}{ \pi v^{2} } = \frac{1}{50}$, или $v = 10 \sqrt{ \frac{gR}{ \pi} }$. Тогда период обращения шарика будет равен
$T \approx \frac{2 \pi R}{v} \approx 1,1 \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
