Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13445
2020-02-22 
К потолку подвешена тонкая гибкая, но нерастяжимая цепочка с равномерным распределением массы $M$ по длине $L$. В положении равновесия цепочка вертикальна. По ее нижнему концу слегка щелкают в горизонтальном направлении, и волна возмущения распространяется вверх к потолку, а после отражения от потолка - вниз к свободному концу. Сколько времени длится это путешествие волны (вверх - вниз)?
Решение:
Известно, что скорость $v$ распространения поперечной волны небольшой амплитуды по шнуру или цепочке с натяжением $T$ и линейной плотностью $\rho$ связана с этими параметрами так:
$v = \sqrt{ \frac{T}{ \rho} }$.
Это легко показать, если рассмотреть движение волны в системе отсчета, которая движется вдоль цепочки с той же скоростью, что и сама волна. Рассмотрим участок, который представляет собой дугу с малым углом $\phi$ окружности радиусом $R$ (см. рисунок). Из второго закона Ньютона следует такая связь:
$m \frac{v^{2} }{R} = 2T \frac{ \phi}{2}$, или $\rho R \phi = T \phi$,
откуда получаем
$v^{2} = \frac{T}{ \rho}$, или $v = \sqrt{ \frac{T}{ \rho}}$.
Натяжение $T$ цепочки в некотором месте пропорционально расстоянию этого места от нижнего ее конца. Обозначим это расстояние через $x$, тогда
$T = \frac{Mgx}{L}$.
Следовательно, уравнение движения будет таким:
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{ \frac{ \frac{Mgx}{L} }{ \frac{M}{L} } } = \sqrt{gx}$.
Если разделить переменные, то будет $\frac{dx}{ \sqrt{x} } = \sqrt{g} dt$.
Суммирование (интегрирование) промежутков времени при пробеге волны от нижней точки ($x = 0$) до верхней ($x = L$) и обратно дает ответ:
$t = 4 \sqrt{ \frac{L}{g} }$.
К потолку подвешена тонкая гибкая, но нерастяжимая цепочка с равномерным распределением массы $M$ по длине $L$. В положении равновесия цепочка вертикальна. По ее нижнему концу слегка щелкают в горизонтальном направлении, и волна возмущения распространяется вверх к потолку, а после отражения от потолка - вниз к свободному концу. Сколько времени длится это путешествие волны (вверх - вниз)?
Решение:
Известно, что скорость $v$ распространения поперечной волны небольшой амплитуды по шнуру или цепочке с натяжением $T$ и линейной плотностью $\rho$ связана с этими параметрами так:
$v = \sqrt{ \frac{T}{ \rho} }$.
Это легко показать, если рассмотреть движение волны в системе отсчета, которая движется вдоль цепочки с той же скоростью, что и сама волна. Рассмотрим участок, который представляет собой дугу с малым углом $\phi$ окружности радиусом $R$ (см. рисунок). Из второго закона Ньютона следует такая связь:
$m \frac{v^{2} }{R} = 2T \frac{ \phi}{2}$, или $\rho R \phi = T \phi$,
откуда получаем
$v^{2} = \frac{T}{ \rho}$, или $v = \sqrt{ \frac{T}{ \rho}}$.
Натяжение $T$ цепочки в некотором месте пропорционально расстоянию этого места от нижнего ее конца. Обозначим это расстояние через $x$, тогда
$T = \frac{Mgx}{L}$.
Следовательно, уравнение движения будет таким:
$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{ \frac{ \frac{Mgx}{L} }{ \frac{M}{L} } } = \sqrt{gx}$.
Если разделить переменные, то будет $\frac{dx}{ \sqrt{x} } = \sqrt{g} dt$.
Суммирование (интегрирование) промежутков времени при пробеге волны от нижней точки ($x = 0$) до верхней ($x = L$) и обратно дает ответ:
$t = 4 \sqrt{ \frac{L}{g} }$.
