Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13440
2020-02-20 
Для ионизации атома водорода, находящегося в основном состоянии, требуется энергия $E = 13,6 эВ \approx 10 эВ$. Оцените энергию, которая нужна, чтобы полностью ионизировать один атом урана $_{92} U$.
Решение:
Устройство многоэлектронных систем не объясняется в классической физике. Однако известно, что энергии ионизации для большинства нейтральных атомов находятся в достаточно узком диапазоне - от 3 эВ (для щелочных металлов) до 24 эВ (для атома гелия). Теория Бора позволяет рассчитать энергию ионизации только для атома водорода: $E_{1} = 13,6 эВ$ или для так называемых водородоподобных атомов: $E_{k} = k^{2} \cdot E_{1}$, где $k$ - заряд ядра в единицах заряда протона, и не в состоянии объяснить свойства даже такой "простой" системы, состоящей всего из трех частиц, как атом гелия.
На уроках физики и химии рассказывается о разрешенных уровнях энергии для электронов, входящих в состав атомов, говорится о наличии нескольких квантовых чисел, необходимых для описания разрешенных состояний электрона в атоме. Так, главное квантовое число n характеризует энергию связи электрона с ядром, или среднее расстояние от электрона до ядра, орбитальное квантовое число $l$ характеризует абсолютную величину орбитального момента импульса электрона, а магнитное квантовое число $m$ характеризует проекцию этого момента импульса на некоторое выбранное в пространстве направление, например на направление внешнего магнитного поля. Есть также спиновое квантовое число, характеризующее проекцию собственного момента количества движения электрона на направление внешнего магнитного поля. Оказывается, что ни в какой квантовой системе не могут существовать электроны, у которых были бы одинаковыми все четыре квантовых числа. Совокупность электронов в атоме с одним и тем же главным квантовым числом n называют электронной оболочкой. Оболочки обозначают буквами K, L, M, N, O, ... Аналогично, электроны с одним и тем же значением орбитального квантового числа I образуют подоболочку. Подоболочки обозначают буквами s, p, d, f, g с указанием главного квантового числа - например, 1s, 2s, 2p, 3d и т.д.
Для расчета энергии ионизации возбужденного водородоподобного атома с электроном, живущим на уровне энергии с главным квантовым числом $n$, применяется формула $E_{kn} = \frac{k^{2}}{n} E_{1}$.
При решении нашей задачи об оценке энергии, необходимой для полной ионизации атома урана, проведем оценку "снизу" и оценку "сверху". Для оценки "снизу" будем считать, что каждый удаляемый из состава атома электрон ведет себя как независимый, находящийся в поле точечного заряда, соответствующего заряду атома за вычетом заряда этого самого электрона. Тогда нужная энергия находится суммированием:
$E_{снизу} = E_{1} \cdot \sum_{1}^{92} k^{2} = 13,6 эВ \cdot 263810 \approx 3,6 МэВ$.
Для оценки "сверху" будем считать, что все оставшиеся около ядра атома электроны, живущие на оболочках с меньшими значениями чисел $n_{1}$ и $l_{1}$, частично экранируют заряд ядра атома от электронов, живущих на оболочках с большими значениями чисел $n_{2}$ и $l_{2}$. И оценка будет еще точнее, если считать, что каждый электрон, живущий на некоторой подоболочке, взаимодействует с электронами, живущими на той же подоболочке, в соответствии с законом Кулона. При этом среднее расстояние между двумя электронами какой-либо подоболочки примерно в полтора раза больше расстояния между этими электронами и ядром атома. Девяносто два электрона атома урана распределены по оболочкам (главным квантовым числам $n$) и подоболочкам (орбитальным квантовым числам $l$) так, как показано на рисунке. Цветами отмечены заполненные уровни энергии атомов: красный - гелий, голубой - неон, розовый - аргон, синий - криптон, зеленый - ксенон, оранжевый - радон, желтый - уран. Каждый из перечисленных атомов содержит внутри себя структуру, соответствующую предыдущему атому в этом списке. Лишь у гелия нет предшественника. Полностью заполнены электронами только первые 4 оболочки атома урана. С учетом распределения электронов по подуровням оценка "сверху" для энергии ионизации атома урана будет такой:
$E_{сверху} = E_{1} \cdot \left ( 92^{2} + \left ( 92 - \frac{2}{3} \right )^{2} + 90^{2} + \left (90 - \frac{2}{3} \right )^{2} + \cdots + \left (90 - 7 \cdot \frac{2}{3} \right )^{2} + \cdots + 82^{2} + \left ( 82 - \frac{2}{3} \right )^{2} + \cdots + 2^{2} + \left ( 2 - \frac{2}{3} \right )^{2} \right ) = 4 МэВ$.
Расчет, естественно, проводился не вручную, а с использованием компьютера.
Понятно, что вклад в общую сумму той части энергии, которая необходима для удаления внешних электронов, гораздо меньше части энергии, необходимой для удаления электронов, находящихся ближе всего к ядру атома. Поэтому оценки "сверху" и "снизу" оказались все-таки близкими друг к другу.
Для ионизации атома водорода, находящегося в основном состоянии, требуется энергия $E = 13,6 эВ \approx 10 эВ$. Оцените энергию, которая нужна, чтобы полностью ионизировать один атом урана $_{92} U$.
Решение:
Устройство многоэлектронных систем не объясняется в классической физике. Однако известно, что энергии ионизации для большинства нейтральных атомов находятся в достаточно узком диапазоне - от 3 эВ (для щелочных металлов) до 24 эВ (для атома гелия). Теория Бора позволяет рассчитать энергию ионизации только для атома водорода: $E_{1} = 13,6 эВ$ или для так называемых водородоподобных атомов: $E_{k} = k^{2} \cdot E_{1}$, где $k$ - заряд ядра в единицах заряда протона, и не в состоянии объяснить свойства даже такой "простой" системы, состоящей всего из трех частиц, как атом гелия.
На уроках физики и химии рассказывается о разрешенных уровнях энергии для электронов, входящих в состав атомов, говорится о наличии нескольких квантовых чисел, необходимых для описания разрешенных состояний электрона в атоме. Так, главное квантовое число n характеризует энергию связи электрона с ядром, или среднее расстояние от электрона до ядра, орбитальное квантовое число $l$ характеризует абсолютную величину орбитального момента импульса электрона, а магнитное квантовое число $m$ характеризует проекцию этого момента импульса на некоторое выбранное в пространстве направление, например на направление внешнего магнитного поля. Есть также спиновое квантовое число, характеризующее проекцию собственного момента количества движения электрона на направление внешнего магнитного поля. Оказывается, что ни в какой квантовой системе не могут существовать электроны, у которых были бы одинаковыми все четыре квантовых числа. Совокупность электронов в атоме с одним и тем же главным квантовым числом n называют электронной оболочкой. Оболочки обозначают буквами K, L, M, N, O, ... Аналогично, электроны с одним и тем же значением орбитального квантового числа I образуют подоболочку. Подоболочки обозначают буквами s, p, d, f, g с указанием главного квантового числа - например, 1s, 2s, 2p, 3d и т.д.
Для расчета энергии ионизации возбужденного водородоподобного атома с электроном, живущим на уровне энергии с главным квантовым числом $n$, применяется формула $E_{kn} = \frac{k^{2}}{n} E_{1}$.
При решении нашей задачи об оценке энергии, необходимой для полной ионизации атома урана, проведем оценку "снизу" и оценку "сверху". Для оценки "снизу" будем считать, что каждый удаляемый из состава атома электрон ведет себя как независимый, находящийся в поле точечного заряда, соответствующего заряду атома за вычетом заряда этого самого электрона. Тогда нужная энергия находится суммированием:
$E_{снизу} = E_{1} \cdot \sum_{1}^{92} k^{2} = 13,6 эВ \cdot 263810 \approx 3,6 МэВ$.
Для оценки "сверху" будем считать, что все оставшиеся около ядра атома электроны, живущие на оболочках с меньшими значениями чисел $n_{1}$ и $l_{1}$, частично экранируют заряд ядра атома от электронов, живущих на оболочках с большими значениями чисел $n_{2}$ и $l_{2}$. И оценка будет еще точнее, если считать, что каждый электрон, живущий на некоторой подоболочке, взаимодействует с электронами, живущими на той же подоболочке, в соответствии с законом Кулона. При этом среднее расстояние между двумя электронами какой-либо подоболочки примерно в полтора раза больше расстояния между этими электронами и ядром атома. Девяносто два электрона атома урана распределены по оболочкам (главным квантовым числам $n$) и подоболочкам (орбитальным квантовым числам $l$) так, как показано на рисунке. Цветами отмечены заполненные уровни энергии атомов: красный - гелий, голубой - неон, розовый - аргон, синий - криптон, зеленый - ксенон, оранжевый - радон, желтый - уран. Каждый из перечисленных атомов содержит внутри себя структуру, соответствующую предыдущему атому в этом списке. Лишь у гелия нет предшественника. Полностью заполнены электронами только первые 4 оболочки атома урана. С учетом распределения электронов по подуровням оценка "сверху" для энергии ионизации атома урана будет такой:
$E_{сверху} = E_{1} \cdot \left ( 92^{2} + \left ( 92 - \frac{2}{3} \right )^{2} + 90^{2} + \left (90 - \frac{2}{3} \right )^{2} + \cdots + \left (90 - 7 \cdot \frac{2}{3} \right )^{2} + \cdots + 82^{2} + \left ( 82 - \frac{2}{3} \right )^{2} + \cdots + 2^{2} + \left ( 2 - \frac{2}{3} \right )^{2} \right ) = 4 МэВ$.
Расчет, естественно, проводился не вручную, а с использованием компьютера.
Понятно, что вклад в общую сумму той части энергии, которая необходима для удаления внешних электронов, гораздо меньше части энергии, необходимой для удаления электронов, находящихся ближе всего к ядру атома. Поэтому оценки "сверху" и "снизу" оказались все-таки близкими друг к другу.
