Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1344
2016-10-21 
Вы смотрите на запылённый вертикальный экран портативного телевизора, стоящего на большом столе. Прямо над вашей головой на высоте $H$ над столом висит мощная лампа, излучающая свет равномерно во все стороны. На каком расстоянии $l$ от вас стоит на столе телевизор, если паразитная засветка его экрана от лампы максимальна? Отражение света лампы от стола не учитывайте.
Решение:
Будем считать малыми размеры экрана телевизора по сравнению с расстоянием $r$ от него до лампы. Паразитная освещённость $E$ экрана обратно пропорциональна $r^{2}$ и пропорциональна косинусу угла падения $\alpha$ света лампы на экран. Поскольку $r = H/ \sin \alpha$, где $H$ — высота лампы над столом (см. рис.), то
$E \sim \frac{ \cos \alpha}{ r^{2}} = \frac{ \sin^{2} \alpha \cos \alpha}{H^{2}} \sim (1 - \cos^{2} \alpha) \cos \alpha = x- x^{3}$,
где введено обозначение $x = \cos \alpha$. Максимум функции $f(x) = x - x^{3}$ можно найти из уравнения
$\frac{df}{dx} = 1 - 3x^{2} = 0$,
откуда $x_{max} = \cos \alpha_{max} = 1/ \sqrt{3}$. Таким образом, паразитная засветка максимальна, когда свет лампы падает на экран телевизора под углом
$\alpha_{max} = arccos \frac{1}{ \sqrt{3}} \approx 54^{ \circ}$,
а расстояние до экрана равно $l = H ctg \alpha_{max} = H / \sqrt{2}$.
Вы смотрите на запылённый вертикальный экран портативного телевизора, стоящего на большом столе. Прямо над вашей головой на высоте $H$ над столом висит мощная лампа, излучающая свет равномерно во все стороны. На каком расстоянии $l$ от вас стоит на столе телевизор, если паразитная засветка его экрана от лампы максимальна? Отражение света лампы от стола не учитывайте.
Решение:
Будем считать малыми размеры экрана телевизора по сравнению с расстоянием $r$ от него до лампы. Паразитная освещённость $E$ экрана обратно пропорциональна $r^{2}$ и пропорциональна косинусу угла падения $\alpha$ света лампы на экран. Поскольку $r = H/ \sin \alpha$, где $H$ — высота лампы над столом (см. рис.), то
$E \sim \frac{ \cos \alpha}{ r^{2}} = \frac{ \sin^{2} \alpha \cos \alpha}{H^{2}} \sim (1 - \cos^{2} \alpha) \cos \alpha = x- x^{3}$,
где введено обозначение $x = \cos \alpha$. Максимум функции $f(x) = x - x^{3}$ можно найти из уравнения
$\frac{df}{dx} = 1 - 3x^{2} = 0$,
откуда $x_{max} = \cos \alpha_{max} = 1/ \sqrt{3}$. Таким образом, паразитная засветка максимальна, когда свет лампы падает на экран телевизора под углом
$\alpha_{max} = arccos \frac{1}{ \sqrt{3}} \approx 54^{ \circ}$,
а расстояние до экрана равно $l = H ctg \alpha_{max} = H / \sqrt{2}$.
