Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13439
2020-02-20 
В камере Вильсона зарегистрировать последствия столкновения $\alpha$-частицы и покоившегося до удара протона. В однородном магнитном поле перпендикулярно вектору его индукции после удара частицы двигались по окружностям с радиусами $R$ и $0,75R$. Каким был радиус $R_{0}$ траектории $\alpha$-частицы до удара?
Решение:
Из соображений размерности ответ должен выражаться через радиус $R$ и безразмерный коэффициент $\beta = 0,75$. Еще, конечно, нужно учитывать свойства $\alpha$-частицы и протона: их массы отличаются примерно в 4 раза, а электрические заряды - в 2 раза.
Пусть в исходной системе отсчета скорость $\alpha$-частицы равна $v$, а индукция магнитного поля (перпендикулярная вектору скорости) равна $B$. Скорости частиц до удара и после удара связаны друг с другом двумя законами сохранения: импульса и энергии. Удобной системой отсчета для решения задач про упругие столкновения является такая система отсчета, где центр масс системы сталкивающихся частиц покоится, т.е. суммарный импульс частиц равен нулю, а их импульсы равны по величине и противоположны по направлению. Очевидно, что после столкновения их импульсы тоже будут одинаковы по величине. В исходной системе отсчета после столкновения с $\alpha$-частицей величина скорости протона, покоившегося до удара, может находиться в диапазоне от 0 до максимально возможной величины, равной удвоенной скорости центра масс системы $\alpha$-частица + протон. Это легко доказывается методом "двух шагов". Первый "шаг" - это пересадка в систему отсчета, в которой центр масс покоится. В этой системе отсчета у покоившегося до удара протона была скорость, равная $-v_{цм}$, а после лобового удара она равна $+v_{цм}$. Второй "шаг" - это обратная пересадка в исходную систему отсчета. Переносная скорость равна $+ v_{цм}$ и относительная скорость тоже равна $+v_{цм}$, поэтому по отношению к исходной системе отсчета протон (и любая другая частица), покоившийся до удара, после абсолютно упругого лобового удара имеет скорость $+2v_{цм}$. Поскольку $\alpha$-частица имеет массу в 4 раз больше, чем масса покоившегося протона, то, соответственно, максимальная по величине скорость протона после соударения будет равна $\frac{8v}{5}$, а у $\alpha$-частицы скорость будет равна $\frac{3v}{5}$.
Радиус траектории движущейся в магнитном поле электрически заряженной частицы при взаимно перпендикулярном расположении векторов ее скорости и индукции магнитного поля определяется соотношением
$R = \frac{mv}{qB}$.
Поэтому после лобового удара рассматриваемых частиц получаются такие радиусы траекторий:
$R_{p} = \frac{8mv}{5eB}$ и $R_{ \alpha} = \frac{12mv}{10eB} = \frac{6mv}{5eB}$.
Заметим, что нам повезло и одно из решений соответствует лобовому удару: $\frac{R_{ \alpha}}{R_{p}} = 0,75$. Значит, больший радиус у протона и он равен $R = \frac{8mv}{5eB}$. До удара радиус траектории $\alpha$-частицы в магнитном поле был $R_{0} = \frac{4mv}{2eB}$. Отсюда следует ответ для одного из возможных решений:
$R_{0} = \frac{5R}{4}$.
Понятно, что второе решение соответствует случаю, когда удар не был лобовым и радиус траектории у $\alpha$-частицы после удара был больше, чем у протона. Это решение, естественно, гораздо более трудоемкое, так как после удара у частиц появляются составляющие импульсов, перпендикулярные первоначальному направлению движения $\alpha$-частицы. Однако с помощью законов сохранения импульса и энергии можно получить ответ и в этом случае. Сделайте это самостоятельно.
В камере Вильсона зарегистрировать последствия столкновения $\alpha$-частицы и покоившегося до удара протона. В однородном магнитном поле перпендикулярно вектору его индукции после удара частицы двигались по окружностям с радиусами $R$ и $0,75R$. Каким был радиус $R_{0}$ траектории $\alpha$-частицы до удара?
Решение:
Из соображений размерности ответ должен выражаться через радиус $R$ и безразмерный коэффициент $\beta = 0,75$. Еще, конечно, нужно учитывать свойства $\alpha$-частицы и протона: их массы отличаются примерно в 4 раза, а электрические заряды - в 2 раза.
Пусть в исходной системе отсчета скорость $\alpha$-частицы равна $v$, а индукция магнитного поля (перпендикулярная вектору скорости) равна $B$. Скорости частиц до удара и после удара связаны друг с другом двумя законами сохранения: импульса и энергии. Удобной системой отсчета для решения задач про упругие столкновения является такая система отсчета, где центр масс системы сталкивающихся частиц покоится, т.е. суммарный импульс частиц равен нулю, а их импульсы равны по величине и противоположны по направлению. Очевидно, что после столкновения их импульсы тоже будут одинаковы по величине. В исходной системе отсчета после столкновения с $\alpha$-частицей величина скорости протона, покоившегося до удара, может находиться в диапазоне от 0 до максимально возможной величины, равной удвоенной скорости центра масс системы $\alpha$-частица + протон. Это легко доказывается методом "двух шагов". Первый "шаг" - это пересадка в систему отсчета, в которой центр масс покоится. В этой системе отсчета у покоившегося до удара протона была скорость, равная $-v_{цм}$, а после лобового удара она равна $+v_{цм}$. Второй "шаг" - это обратная пересадка в исходную систему отсчета. Переносная скорость равна $+ v_{цм}$ и относительная скорость тоже равна $+v_{цм}$, поэтому по отношению к исходной системе отсчета протон (и любая другая частица), покоившийся до удара, после абсолютно упругого лобового удара имеет скорость $+2v_{цм}$. Поскольку $\alpha$-частица имеет массу в 4 раз больше, чем масса покоившегося протона, то, соответственно, максимальная по величине скорость протона после соударения будет равна $\frac{8v}{5}$, а у $\alpha$-частицы скорость будет равна $\frac{3v}{5}$.
Радиус траектории движущейся в магнитном поле электрически заряженной частицы при взаимно перпендикулярном расположении векторов ее скорости и индукции магнитного поля определяется соотношением
$R = \frac{mv}{qB}$.
Поэтому после лобового удара рассматриваемых частиц получаются такие радиусы траекторий:
$R_{p} = \frac{8mv}{5eB}$ и $R_{ \alpha} = \frac{12mv}{10eB} = \frac{6mv}{5eB}$.
Заметим, что нам повезло и одно из решений соответствует лобовому удару: $\frac{R_{ \alpha}}{R_{p}} = 0,75$. Значит, больший радиус у протона и он равен $R = \frac{8mv}{5eB}$. До удара радиус траектории $\alpha$-частицы в магнитном поле был $R_{0} = \frac{4mv}{2eB}$. Отсюда следует ответ для одного из возможных решений:
$R_{0} = \frac{5R}{4}$.
Понятно, что второе решение соответствует случаю, когда удар не был лобовым и радиус траектории у $\alpha$-частицы после удара был больше, чем у протона. Это решение, естественно, гораздо более трудоемкое, так как после удара у частиц появляются составляющие импульсов, перпендикулярные первоначальному направлению движения $\alpha$-частицы. Однако с помощью законов сохранения импульса и энергии можно получить ответ и в этом случае. Сделайте это самостоятельно.
