Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13430
2020-02-20 
Тело представляет собой два склеенных однородных полушара, центры которых совпадают (рис.). Нижний полушар имеет радиус $R_{1}$ и сделан из материала с плотностью $\rho_{1}$, верхний полушар имеет радиус $R_{2}$ и плотность $\rho_{2}$. При каких значениях $R_{1}, R_{2}, \rho_{1}$ и $\rho_{2}$ положение тела, изображенное на рисунке, будет устойчивым?
Решение:
Очевидно, положение тела, изображенное на рисунке, является положением равновесия, поскольку в этом случае сила тяжести и сила реакции опоры компенсируют друг друга. Для исследования устойчивости равновесия необходимо вывести тело из положения равновесия и исследовать возникшие силы. Если при этом появятся силы, возвращающие тело в положение равновесия, равновесие будет устойчивым, если появятся силы, выводящие тело из положения равновесия, равновесие будет неустойчивым, если же силы будут по-прежнему компенсировать друг друга, равновесие будет безразличным.
Итак, отклоним тело от положения равновесия и исследуем действие на него сил. Прямая, вдоль которой действует сила реакции опоры, проходит через общий центр полушаров (так как нижняя поверхность тела - сферическая). Поэтому устойчивость или неустойчивость равновесия определяется точкой приложения силы тяжести: если сила тяжести проходит левее центра (при отклонении тела направо), то его равновесие устойчиво, если правее - неустойчиво, через центр - безразлично. А поскольку точкой приложения силы тяжести является центр тяжести тела, то устойчивость тела определяется положением центра тяжести по отношению к центру полушаров.
Для иллюстрации этого вывода обратимся к рисункам. На рисунке а показан случай, когда центр тяжести тела лежит ниже центра полушаров (центр тяжести отмечен крестиком). В этом случае сила тяжести создает момент относительно точки касания, возвращающий тело в положение равновесия, которое, следовательно, является устойчивым. Когда центр тяжести тела лежит выше центра полушаров, момент силы тяжести выводит тело из положения равновесия (рис.б), и равновесие тела неустойчиво. Если центр тяжести тела совпадает с центром полушаров (рис.в), сумма моментов сил относительно точки касания равна нулю при любом отклонении тела, и, следовательно, любое положение тела в этом случае является положением безразличного равновесия. Поэтому исследование равновесия тела сводится к нахождению положения его центра тяжести в зависимости от значений величин $R_{1}, R_{2}, \rho_{1}$ и $\rho_{2}$.
Для нахождения центра тяжести тела удобно использовать следующий прием. Если тело можно мысленно разделить на такие части, положение центра тяжести каждой из которых известно, то центр тяжести всего тела можно найти как центр тяжести системы материальных точек, массы которых равны массам этих выделенных частей и которые расположены в их центрах тяжести. В применении к нашему телу это означает, что его центр тяжести совпадает с центром тяжести системы двух материальных точек с массами, равными массам верхнего и нижнего полушаров, которые расположены в центрах тяжести верхнего и нижнего полушаров соответственно.
Далее используем соображения размерности и подобия. Для однородного полушара существует единственная характеризующая его величина с размерностью длины - это радиус полушара. Поэтому расстояние от центра каждого полушара до его центра тяжести должно выражаться через его радиус: $r_{цт} = \alpha R$, где $\alpha$ - безразмерный коэффициент пропорциональности, который определяется только формой тела и не зависит от его размеров. Следовательно, неизвестный коэффициент $\alpha$ одинаков для всех полушаров. Тогда $y$-координата центра тяжести всего тела в системе координат, начало которой находится в центре полушаров, определяется формулой
$y_{цт} = \frac{ \alpha R_{1}m_{1} - \alpha R_{2}m_{2}}{m_{1} + m_{2} } = \frac{ \alpha (R_{1}m_{1} - R_{2}m_{2})}{m_{1} + m_{2} }$.
Конечно, для вычисления координаты центра тяжести необходимо знать коэффициент $\alpha$. Однако в нашей задаче нужно не вычислить координату центра тяжести, а только сравнить ее с координатой центра полушаров - в это сравнение коэффициент $\alpha$ не входит. Действительно, если центр тяжести тела лежит ниже центра полушаров, то при нашем выборе системы координат его координата положительна: $y_{цт} > 0$, если выше - отрицательна: $y_{цт} < 0$. Таким образом, из предыдущей формулы следует, что центр тяжести тела лежит ниже центра полушаров, если
$R_{1}m_{1} - R_{2}m_{2} > 0$,
и выше, если
$R_{1}m_{1} - R_{2}m_{2} < 0$.
Выражая массы полушаров через их плотности и объемы, заключаем, что рассматриваемое тело будет находиться в устойчивом равновесии, если $\rho_{1}R_{1}^{4} > \rho_{2}R_{2}^{4}$, в неустойчивом - при выполнении обратного неравенства и в безразличном - если $\rho_{1}R_{1}^{4} = \rho_{2}R_{2}^{4}$.
Тело представляет собой два склеенных однородных полушара, центры которых совпадают (рис.). Нижний полушар имеет радиус $R_{1}$ и сделан из материала с плотностью $\rho_{1}$, верхний полушар имеет радиус $R_{2}$ и плотность $\rho_{2}$. При каких значениях $R_{1}, R_{2}, \rho_{1}$ и $\rho_{2}$ положение тела, изображенное на рисунке, будет устойчивым?
Решение:
Очевидно, положение тела, изображенное на рисунке, является положением равновесия, поскольку в этом случае сила тяжести и сила реакции опоры компенсируют друг друга. Для исследования устойчивости равновесия необходимо вывести тело из положения равновесия и исследовать возникшие силы. Если при этом появятся силы, возвращающие тело в положение равновесия, равновесие будет устойчивым, если появятся силы, выводящие тело из положения равновесия, равновесие будет неустойчивым, если же силы будут по-прежнему компенсировать друг друга, равновесие будет безразличным.
Итак, отклоним тело от положения равновесия и исследуем действие на него сил. Прямая, вдоль которой действует сила реакции опоры, проходит через общий центр полушаров (так как нижняя поверхность тела - сферическая). Поэтому устойчивость или неустойчивость равновесия определяется точкой приложения силы тяжести: если сила тяжести проходит левее центра (при отклонении тела направо), то его равновесие устойчиво, если правее - неустойчиво, через центр - безразлично. А поскольку точкой приложения силы тяжести является центр тяжести тела, то устойчивость тела определяется положением центра тяжести по отношению к центру полушаров.
Для иллюстрации этого вывода обратимся к рисункам. На рисунке а показан случай, когда центр тяжести тела лежит ниже центра полушаров (центр тяжести отмечен крестиком). В этом случае сила тяжести создает момент относительно точки касания, возвращающий тело в положение равновесия, которое, следовательно, является устойчивым. Когда центр тяжести тела лежит выше центра полушаров, момент силы тяжести выводит тело из положения равновесия (рис.б), и равновесие тела неустойчиво. Если центр тяжести тела совпадает с центром полушаров (рис.в), сумма моментов сил относительно точки касания равна нулю при любом отклонении тела, и, следовательно, любое положение тела в этом случае является положением безразличного равновесия. Поэтому исследование равновесия тела сводится к нахождению положения его центра тяжести в зависимости от значений величин $R_{1}, R_{2}, \rho_{1}$ и $\rho_{2}$.
Для нахождения центра тяжести тела удобно использовать следующий прием. Если тело можно мысленно разделить на такие части, положение центра тяжести каждой из которых известно, то центр тяжести всего тела можно найти как центр тяжести системы материальных точек, массы которых равны массам этих выделенных частей и которые расположены в их центрах тяжести. В применении к нашему телу это означает, что его центр тяжести совпадает с центром тяжести системы двух материальных точек с массами, равными массам верхнего и нижнего полушаров, которые расположены в центрах тяжести верхнего и нижнего полушаров соответственно.
Далее используем соображения размерности и подобия. Для однородного полушара существует единственная характеризующая его величина с размерностью длины - это радиус полушара. Поэтому расстояние от центра каждого полушара до его центра тяжести должно выражаться через его радиус: $r_{цт} = \alpha R$, где $\alpha$ - безразмерный коэффициент пропорциональности, который определяется только формой тела и не зависит от его размеров. Следовательно, неизвестный коэффициент $\alpha$ одинаков для всех полушаров. Тогда $y$-координата центра тяжести всего тела в системе координат, начало которой находится в центре полушаров, определяется формулой
$y_{цт} = \frac{ \alpha R_{1}m_{1} - \alpha R_{2}m_{2}}{m_{1} + m_{2} } = \frac{ \alpha (R_{1}m_{1} - R_{2}m_{2})}{m_{1} + m_{2} }$.
Конечно, для вычисления координаты центра тяжести необходимо знать коэффициент $\alpha$. Однако в нашей задаче нужно не вычислить координату центра тяжести, а только сравнить ее с координатой центра полушаров - в это сравнение коэффициент $\alpha$ не входит. Действительно, если центр тяжести тела лежит ниже центра полушаров, то при нашем выборе системы координат его координата положительна: $y_{цт} > 0$, если выше - отрицательна: $y_{цт} < 0$. Таким образом, из предыдущей формулы следует, что центр тяжести тела лежит ниже центра полушаров, если
$R_{1}m_{1} - R_{2}m_{2} > 0$,
и выше, если
$R_{1}m_{1} - R_{2}m_{2} < 0$.
Выражая массы полушаров через их плотности и объемы, заключаем, что рассматриваемое тело будет находиться в устойчивом равновесии, если $\rho_{1}R_{1}^{4} > \rho_{2}R_{2}^{4}$, в неустойчивом - при выполнении обратного неравенства и в безразличном - если $\rho_{1}R_{1}^{4} = \rho_{2}R_{2}^{4}$.
